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CHAPITRE III.

${\begin{aligned}\mathrm {P} &={\frac {\pi ^{2}}{2.3}}\\[1ex]\mathrm {Q} &={\frac {\pi ^{4}}{2.3.4.5}}\\[1ex]\mathrm {R} &={\frac {\pi ^{6}}{2.3.4.5.6.7}}\\[1ex]\mathrm {S} &={\frac {\pi ^{8}}{2.3.4.5.6.7.8.9}}\\[1.5ex]&\qquad \quad \mathrm {etc.} \\\end{aligned}}$

213.

Supposons maintenant que $\mathrm {P} _{n}\,\mathrm {Q} _{n}\,\mathrm {R} _{n}\,\mathrm {S} _{n}\,\dots$ etc. représentent les sommes de produits différents que l’on peut faire avec les fractions ${\tfrac {1}{1^{2}}}\,{\tfrac {1}{2^{2}}}\,{\tfrac {1}{3^{2}}}\,{\tfrac {1}{4^{2}}}\,{\tfrac {1}{5^{2}}}\dots$ etc., dont on aura séparé la fraction ${\tfrac {1}{n^{2}}},$ $n$ étant un nombre entier quelconque ; il s’agit de déterminer $\mathrm {P} _{n}\,\mathrm {Q} _{n}\,\mathrm {R} _{n}\,\mathrm {S} _{n}\,\dots$ etc., au moyen de $\mathrm {P} \,\mathrm {Q} \,\mathrm {R} \,\mathrm {S} \,\dots$ etc. Si l’on désigne par $1-q\mathrm {P} _{n}+q^{2}\mathrm {Q} _{n}-q^{3}\mathrm {R} _{n}+q^{4}\mathrm {S} _{n}-$ etc., les produits des facteurs

$\left(1-{\frac {q}{1^{2}}}\right)\left(1-{\frac {q}{2^{2}}}\right)\left(1-{\frac {q}{3^{2}}}\right)\left(1-{\frac {q}{4^{2}}}\right)\dots \mathrm {etc.} ,$

parmi lesquels on aurait omis le seul facteur $1-{\tfrac {q}{n^{2}}}\,;$ il faudra qu’en multipliant par $1-{\tfrac {q}{n^{2}}}$ la quantité

${\begin{aligned}&1-q\mathrm {P} _{n}+q^{2}\mathrm {Q} _{n}-q^{3}\mathrm {R} _{n}+q^{4}\mathrm {S} _{n}-\mathrm {etc.} ,\\[2ex]\mathrm {on} \;\mathrm {trouve} \quad &1-q\mathrm {P} +q^{2}\mathrm {Q} -q^{3}\mathrm {R} +q^{4}\mathrm {S} -\mathrm {etc} \\\end{aligned}}$