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CHAPITRE III.

dont le développement ne contient que des puissances impaires de la variable.

216.

Le cas qui se présente le premier est celui où l’on aurait $\varphi x=x\,;$ on trouve alors $\varphi ^{I}0=1,$ $\varphi ^{III}0=0,$ $\varphi ^{V}0=0\dots ,$ ainsi du reste. On aura donc la série

${\frac {1}{2}}x=\sin .x-{\frac {1}{2}}\sin .2x+{\frac {1}{3}}\sin .3x-{\frac {1}{4}}\sin .4x+\mathrm {etc.} ,$

qui a été donnée par Euler.

Si l’on suppose que la fonction proposée soit $x^{3},$ on aura

$\varphi ^{I}0=0,\;\varphi ^{III}0=2.3,\;\varphi ^{V}0=0,\;\varphi ^{VII}0=0\dots \;\mathrm {etc.} ,$

ce qui donne l’équation

${\tfrac {1}{2}}x^{3}=\left(\pi ^{2}-{\tfrac {2.3}{1^{2}}}\right)\sin .x-\left(\pi ^{2}-{\tfrac {2.3}{2^{2}}}\right){\tfrac {1}{2}}\sin .2x+\left(\pi ^{2}-{\tfrac {2.3}{3^{2}}}\right){\tfrac {1}{3}}\sin .3x+\mathrm {etc.}$

On parviendrait à ce même résultat en partant de l’équation précédente,

${\frac {1}{2}}x=\sin .x-{\frac {1}{2}}\sin .2x+{\frac {1}{3}}\sin .3x-{\frac {1}{4}}\sin .4x+\mathrm {etc.}$

En effet, en multipliant chaque membre par $dx,$ et intégrant, on aura

$\mathrm {C} -{\frac {x^{2}}{4}}=\cos .x-{\frac {1}{2^{2}}}\cos .2x+{\frac {1}{3^{2}}}\cos .3x-{\frac {1}{4^{2}}}\cos .4x+\mathrm {etc.} \,;$

la valeur de la constante $\mathrm {C}$ est

$1-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}-{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-\mathrm {etc.} \,;$