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THÉORIE DE LA CHALEUR.

série dont on sait que la somme est $+{\frac {1}{2}}{\frac {\pi ^{2}}{2.3}}$. Multipliant par $dx$ les deux membres de l’équation

${\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\pi ^{2}}{2.3}}-{\frac {x^{2}}{4}}=\cos .x-{\frac {1}{2^{2}}}\cos .2x+{\frac {1}{3^{2}}}\cos .3x-\mathrm {etc.}$

et intégrant, on aura

${\frac {1}{2}}{\frac {\pi ^{2}.x}{2.3}}-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x^{3}}{2.3}}=\sin .x-{\frac {1}{2^{3}}}\cdot \sin .2x+{\frac {1}{3^{3}}}\sin .3x-\mathrm {etc.}$

Si maintenant on met au lieu de $x,$ sa valeur tirée de l’équation

${\frac {1}{2}}x=\sin .x-{\frac {1}{2}}\sin .2x+{\frac {1}{3}}\sin .3x-{\frac {1}{4}}\sin .4x+\mathrm {etc.}$

on obtiendra la même équation que ci-dessus, savoir :

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}{\frac {x^{3}}{2.3}}&=\sin .x\left({\frac {\pi ^{2}}{2.3}}-{\frac {1}{1^{2}}}\right)-{\frac {1}{2}}\sin .2x\left({\frac {\pi ^{2}}{2.3}}-{\frac {1}{2^{2}}}\right)\\&+{\frac {1}{3}}\sin .3x\left({\frac {\pi ^{2}}{2.3}}-{\frac {1}{3^{2}}}\right)-{\frac {1}{4}}\sin .4x\left({\frac {\pi ^{2}}{2.3}}-{\frac {1}{4^{2}}}\right)+\mathrm {etc.} \\\end{aligned}}$

On parviendrait de la même manière à développer en séries de sinus multiples, les puissances $x^{5}\,x^{7}\,x^{9}\dots$ etc., et en général toute fonction dont le développement ne contiendrait que des puissances impaires de la variable.

217.

L’équation (A) (art. 215) peut être mise sous une forme plus simple que nous allons faire connaître. On remarque d’abord qu’une partie du coëfficient de $\sin .x,$ est la série

$\varphi ^{I}0+{\frac {\pi ^{2}}{2.3}}\varphi ^{III}0+{\frac {\pi ^{4}}{2.3.4.5}}\varphi ^{V}0+{\frac {\pi ^{6}}{2.3.4.5.6.7}}\varphi ^{VII}0+\mathrm {etc.} ,$