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CHAPITRE III.

qui représente la quantité ${\frac {1}{\pi }}\varphi \pi .$ En effet, on a en général

$\varphi x=\varphi 0+x\varphi ^{I}0+{\frac {x^{2}}{2}}\varphi ^{II}0+{\frac {x^{3}}{2.3}}\varphi ^{III}0+{\frac {x^{4}}{2.3.4}}\varphi ^{IV}0+{\frac {x^{5}}{2.3.4.5}}\varphi ^{V}0+\dots \mathrm {etc.}$

Or, la fonction $\varphi x$ ne contenant par hypothèse que des puissances impaires ; on doit avoir $\varphi 0=0,$ $\varphi ^{II}0=0,$ $\varphi ^{IV}0=0,$ ainsi de suite. Donc

$\varphi x=x\varphi ^{I}0+{\frac {x^{3}}{2.3}}\varphi ^{III}0+{\frac {x^{5}}{2.3.4.5}}\varphi ^{V}0+\mathrm {etc.} \;;$

une seconde partie du coëfficient de $\sin .x$ se trouve, en multipliant par $-{\tfrac {1}{2}},$ la série

$\varphi ^{III}0+{\frac {\pi ^{2}}{2.3}}\varphi ^{V}0+{\frac {\pi ^{4}}{2.3.4.5}}\varphi ^{VII}0+{\frac {\pi ^{6}}{2.3.4.5.6.7}}\varphi ^{IX}0+\mathrm {etc.} ,$

dont la valeur est ${\frac {1}{\pi }}\varphi ^{II}\pi .$ On déterminera de cette manière les différentes parties du coëfficient de $\sin .x,$ et celles qui composent les coëfficients de $\sin .2x,$ $\sin .3x,$ $\sin .4x,$ $\sin .5x,$ etc. On emploiera pour cela les équations :

${\begin{alignedat}{11}&\varphi ^{I}0+{\frac {\pi ^{2}}{2.3}}\varphi ^{III}0+{\frac {\pi ^{4}}{2.3.4.5}}\varphi ^{V}0+{\frac {\pi ^{6}}{2.3.4.5.6.7}}\varphi ^{VII}0+\mathrm {etc.} &={\frac {1}{\pi }}\varphi \;\;\,\pi \\&\varphi ^{III}0+{\frac {\pi ^{2}}{2.3}}\varphi ^{V}0+{\frac {\pi ^{4}}{2.3.4.5}}\varphi ^{VII}0+{\frac {\pi ^{6}}{2.3.4.5.6.7}}\varphi ^{IX}0+\mathrm {etc.} &={\frac {1}{\pi }}\varphi ^{II}\pi \\&\varphi ^{V}0+{\frac {\pi ^{2}}{2.3}}\varphi ^{VII}0+{\frac {\pi ^{4}}{2.3.4.5}}\varphi ^{IX}0+\mathrm {etc.} &={\frac {1}{\pi }}\varphi ^{IV}\pi \\&\varphi ^{VII}0+{\frac {\pi ^{2}}{2.3}}\varphi ^{IX}0+\mathrm {etc.} &={\frac {1}{\pi }}\varphi ^{VI}\pi \\\end{alignedat}}$