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THÉORIE DE LA CHALEUR.

étant nulles depuis $x=\alpha$ jusqu’à $x=\pi \,;$ il suffira d’intégrer depuis $x=0$ jusqu’à $x=\alpha .$ Cela posé, on trouvera, pour la série demandée, en désignant par $h$ la valeur constante de la fonction,

${\begin{aligned}{\tfrac {1}{2}}\pi \varphi x=h&\left\{{\frac {1-\cos \alpha }{1}}\sin .x+{\frac {1-\cos .2\alpha }{2}}\sin .2x\right.\\&\left.+{\frac {1-\cos .3\alpha }{3}}\sin .3x+{\frac {1-\cos .4\alpha }{4}}\sin .4x+\mathrm {etc.} \right\}\\\end{aligned}}$

Si l’on fait $h={\tfrac {1}{2}}\pi$, et que l’on représente le sinus verse de l’arc $x$ par $\sin .\!\mathrm {V} .x,$ on aura :

${\begin{aligned}\varphi x=&\sin .\!\mathrm {V} .\alpha \sin .x+{\tfrac {1}{2}}\sin .\!\mathrm {V} .2\alpha \sin .2x+{\tfrac {1}{3}}\sin .\!\mathrm {V} .3\alpha \sin .3x\\&+{\tfrac {1}{4}}\sin .\!\mathrm {V} .4\alpha \sin .4x+{\tfrac {1}{5}}\sin .\!\mathrm {V} .5\alpha \sin .5x+\mathrm {etc.} \\\end{aligned}}$

Cette série toujours convergente est telle que si l’on donne à $x$ une valeur quelconque comprise entre $0$ et $\alpha ,$ la somme de ses termes sera ${\tfrac {1}{2}}\pi \,;$ mais si l’on donne à $x$ une valeur quelconque plus grande que $\alpha$ et moindre que ${\tfrac {1}{2}}\pi$ la somme des termes sera nulle.

Dans l’exemple suivant, qui n’est pas moins remarquable, les valeurs de $\varphi x$ sont égales à $\sin .x$ pour toutes les valeurs de $x$ comprises entre $0$ et $\alpha ,$ et sont nulles pour toutes les valeurs de $x$ comprises entre $\alpha$ et $\pi .$ Pour trouver la série qui satisfait à cette condition, on emploiera l’équation $(m).$

Les intégrales doivent être prises depuis $x=0$ jusqu’à $x=\pi \,:$ mais il suffira, dans le cas dont il s’agit, de prendre ces intégrales depuis $x=0$ jusqu’à $x=\alpha ,$ puisque les valeurs de $\varphi x$ sont supposées nulles, dans le reste de l’intervalle. On en conclura :