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CHAPITRE III.

{\begin{aligned}\varphi x=2\alpha \left\{{\frac {\sin .\alpha \,\sin .x}{\pi ^{2}-\alpha ^{2}}}+{\frac {\sin .2\alpha \,\sin .2x}{\pi ^{2}-2^{2}\alpha ^{2}}}\right.&\left.+{\frac {\sin .3\alpha \,\sin .3x}{\pi ^{2}-3^{2}\alpha ^{2}}}\right.\\&\left.+{\frac {\sin .4\alpha \,\sin .2x}{\pi ^{2}-4^{2}\alpha ^{2}}}+\mathrm {etc.} \right\}\\\end{aligned}}

Si l’on supposait $\alpha =\pi ,$ tous les termes de la série s’évanouiraient, excepté le premier qui deviendrait ${\tfrac {0}{0}},$ et qui a pour valeur $\sin .x.$ on aurait donc $\varphi x=\sin .x.$

227.

On peut étendre la même analyse au cas ou l’ordonnée représentée par $\varphi x$ serait celle d’une ligne composée de différentes parties, dont les unes seraient des arcs de courbes et les autres des lignes droites. Par exemple, si la fonction dont on demande le développement en séries de cosinus d’arcs multiples a pour valeur $\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2}-x^{2},$ depuis $x=0$ jusqu’à $x={\tfrac {1}{2}}\pi ,$ et est nulle depuis $x={\tfrac {1}{2}}\pi$ jusqu’à $x=\pi .$ On emploiera l’équation générale $(n),$ et en effectuant les intégrations dans les limites données, on trouvera que le terme général $\int \left(\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2}-x^{2}\right)\cos .ix\,dx$ est égal à $\pm {\frac {2}{i^{3}}}$ lorsque $i$ est impair, à ${\frac {\pi }{i^{2}}}$ lorsque $i$ est double d’un nombre impair, et à $-{\frac {\pi }{i^{2}}}$ lorsque $i$ est quadruple d’un nombre impair. D’un autre côté, on trouvera ${\frac {1}{3}}{\frac {\pi ^{3}}{2^{3}}}$ pour la valeur du premier terme $\textstyle {\frac {1}{2}}\int \varphi x\,dx.$ On aura donc le développement suivant :