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THÉORIE DE LA CHALEUR.

distance du point m à l’extrémité O de l’arête A, dont la longueur totale est $2r\,;$ soit $v$ la température constante du point m, dont les coordonnées sont $y$ et $x,$ il s’agit de déterminer $v$ en une fonction de $y$ et $x.$ La valeur

$v=ae^{-my}\sin .mx$

satisfait à l’équation ${\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}=0\,;$ $a$ et $m$ sont des quantités quelconques. Si l’on prend $m=i{\frac {\pi }{r}}$, et que $i$ soit un nombre entier, la valeur $ae^{-i\pi {\frac {y}{r}}}\sin .\left(i\pi {\frac {x}{r}}\right)$ deviendra nulle, lorsque $x=r,$ quelle que soit d’ailleurs la valeur de $y.$ On pourra donc prendre pour une valeur plus générale de $v$

$v=a_{1}e^{-\pi {\frac {y}{r}}}\sin .\left(\pi {\frac {x}{r}}\right)+a_{2}e^{-2\pi {\frac {y}{r}}}\sin .\left(2\pi {\frac {x}{r}}\right)+a_{3}e^{-3\pi {\frac {y}{r}}}\sin .\left(3\pi {\frac {x}{r}}\right)+\mathrm {etc.}$

Si l’on suppose $y$ nulle, la valeur de $v$ sera d’après l’hypothèse égale à la fonction connue, $fx.$ On aura donc

$fx=a_{1}\sin .\!\left(\pi {\frac {x}{r}}\right)+a_{2}\sin .\!\left(2\pi {\frac {x}{r}}\right)+a_{3}\sin .\!\left(3\pi {\frac {x}{r}}\right)+a_{4}\sin .\!\left(4\pi {\frac {x}{r}}\right)+\mathrm {etc.}$

On déterminera les coëfficients $a_{1}\,a_{2}\,a_{3}\,a_{4}\,a_{5}$ etc., au moyen de l’équation (M), et en les substituant dans la valeur de $v$ on aura

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}rv=e^{-\pi {\frac {y}{r}}}\sin .\!\left(\pi {\frac {x}{r}}\right)\!\int \!fx\sin .\!\left(\pi {\frac {x}{r}}\right)\,dx+e^{-2\pi {\frac {y}{r}}}\sin .\!\left(2\pi {\frac {x}{r}}\right)\!\int \!fx\sin .\!\left(2\pi {\frac {x}{r}}\right)\,dx&\\+e^{-3\pi {\frac {y}{r}}}\sin .\!\left(3\pi {\frac {x}{r}}\right)\!\int \!fx\sin .\!\left(3\pi {\frac {x}{r}}\right)\,dx+\mathrm {etc.} &\\\end{aligned}}$