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THÉORIE DE LA CHALEUR.

pératures diminue donc comme l’ordonnée d’une logarithmique, ou comme les puissances successives de la fraction $e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}}.$ On a pour les valeurs de $\alpha$ et $\beta$

$\alpha ={\frac {1}{2}}(a+b)-{\frac {1}{2}}(a-b)e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}t},\quad \beta ={\frac {1}{2}}(a+b)+{\frac {1}{2}}(a-b)e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}t}$

250.

On suppose, dans le cas qui précède, que la masse infiniment petite $\omega ,$ au moyen de laquelle s’opère la transmission, est toujours la même partie de l’unité de masse, ou, ce qui est la même chose, que le coëfficient $\mathrm {K}$ qui mesure la conducibilité réciproque est une quantité constante. Pour rendre la recherche dont il s’agit plus générale, il faudrait considérer le coëfficient $\mathrm {K}$ comme une fonction de deux températures actuelles $\alpha$ et $\beta .$ On aurait alors les deux équations $d\alpha =-(\alpha -\beta ){\frac {\mathrm {K} }{m}}dt,$ et $d\beta =(\alpha -\beta ){\frac {\mathrm {K} }{m}}dt,$ dans lesquelles $\mathrm {K}$ serait égal à la fonction de $\alpha$ et $\beta ,$ que nous désignons par $\varphi (\alpha ,\beta ).$ Il sera facile de connaître la loi que suivent les températures variables $\alpha$ et $\beta$ lorsqu’elles approchent extrêmement de leur dernier état. Soit $y$ une nouvelle indéterminée égale à la différence entre $\alpha$ et la dernière valeur qui est ${\tfrac {1}{2}}(a+b)$ ou $c.$ Soit $z$ une seconde indéterminée égale à la différence $c-\beta .$ On substituera au lieu de $\alpha ,$ et $\beta$ leurs valeurs $c-y$ et $c-z\,;$ et, comme il s’agit de trouver les valeurs de $y$ et de $z,$ lorsqu’on les suppose très-petites, on ne doit retenir dans les résultats des substitutions que la première puissance de $y$ et de $z.$ On trouvera donc les deux équations