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CHAPITRE IV.

mêmes. Dans ce cas, le terme ${\tfrac {1}{2}}\cos .j\,{\overline {\mu +\nu }}\,q$ donne encore un développement dont la somme est nulle : mais la quantité ${\tfrac {1}{2}}\cos .j\,{\overline {\mu -\nu }}\,q$ fournit des termes égaux dont chacun a pour valeur ${\tfrac {1}{2}}\,;$ donc la somme des produits terme à terme des deux premières séries est ${\tfrac {1}{2}}n.$

On trouvera de la même manière la valeur de la somme des produits terme à terme des deux secondes séries, ou $\sum (\cos .j\mu q.\cos .j\nu q)\,;$ en effet, on substituera à $\textstyle \cos .j\mu q.\cos .j\nu q$ la quantité ${\tfrac {1}{2}}\cos .j\,{\overline {\mu -\nu }}\,q+{\tfrac {1}{2}}\cos .j\,{\overline {\mu +\nu }}\,q$

et l’on en conclura comme dans le cas précédent, que

$\sum {\tfrac {1}{2}}\cos .j\,{\overline {\mu +\nu }}\,q$

est nulle, est que $\textstyle \sum \cos .j\,{\overline {\mu -\nu }}\,q)$ est nulle, excepté le cas où $\mu =\nu .$ Il suit de là que la somme des produits terme à terme des deux secondes séries ou $\textstyle \sum \cos .j\mu q.\cos .j\nu q$ est toujours nulle, lorsque les arcs $u$ et $v$ sont différents, et égale à ${\tfrac {1}{2}}n$ lorsque $u=v.$ Il ne faut plus que distinguer les cas ou les arcs $\mu q$ et $\nu q$ sont tous les deux nuls, alors on a 0 pour la valeur de $\textstyle \sum (\sin .j\mu q.\sin .j\nu q),$ qui désigne la somme des deux produits terme à terme des deux premières séries. Il n’en est pas de même de la somme $\textstyle \sum (\cos .j\mu q.\cos .j\nu q),$ prise dans le cas où $\mu q$ et $\nu q$ sont nuls ; cette somme des produits terme à terme des deux secondes séries est évidemment égale à $n.$ Quant à la somme des produits terme à terme des deux séries