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THÉORIE DE LA CHALEUR.

${\begin{array}{rrrrrr}\sin .0u,&\sin .u,&\sin .2u,&\sin .3u,&\sin .4u\dots &\sin .{\overline {n-1}}.u\\\cos .0u,&\cos .u,&\cos .2u,&\cos .3u,&\cos .4u\dots &\cos .{\overline {n-1}}.u\\\end{array}}$

elle est nulle, dans tous les cas, ce qu’il est facile de reconnaître par l’analyse précédente.

270.

La comparaison de ces séries fournit donc les conséquences suivantes. Si l’on partage la circonférence $2\pi$ en un nombre $n$ de parties égales, que l’on prenne un arc $u$ composé d’un nombre entier $\mu$ de ces parties, et que l’on marque les extrémités des arcs $u,$ $2u,$ $3u,$ $4u\dots$ ${\overline {n-1}}\,u,$ il résulte des propriétés connues des quantités trigonométriques que les quantités

	${\begin{array}{rrrrr}\sin .0u,&\sin .u,&\sin .2u,&\sin .3u\dots &\sin .{\overline {n-1}}.u,\\\cos .0u,&\cos .u,&\cos .2u,&\cos .3u\dots &\cos .{\overline {n-1}}.u\,\\\end{array}}$
ou celles-ci,

forment une série récurrente périodique, composée de $n$ termes ; si l’on compare une de ces deux séries correspondantes à un arc $u$ ou $\mu {\frac {2\pi }{n}}$ à une série correspondante à un autre arc $v$ ou $\nu .{\frac {2\pi }{n}}$ et qu’on multiplie terme à terme les deux séries comparées ; la somme des produits sera nulle lorsque les arcs $u$ et $v$ seront différents. Si les arcs $u$ et $v$ sont égaux, la somme des produits est égale à ${\tfrac {1}{2}}n$ lorsque l’on compare deux séries de sinus, ou lorsque l’on compare deux séries de cosinus ; mais cette somme est nulle, si l’on compare une série de sinus à une série de cosinus. Si l’on suppose nuls les arcs $u$ et $v,$ il est manifeste que la somme