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THÉORIE DE LA CHALEUR.

qu’à $x=2\pi ,$ et celle de $\textstyle {\frac {2}{\pi }}\mathrm {S} \,a_{i}\cos .\left({\overline {i-1}}\,{\frac {2\pi }{n}}\right)$ est

${\frac {2}{\pi }}\int \left(fx\,\cos .x\,dx\right),$

l’intégrale étant prise entre les mêmes limites, on obtient par ces substitutions l’équation

${\begin{aligned}\varphi (x,t)=v&={\frac {1}{2\pi }}\mathrm {S} \,fx\,dx+{\frac {1}{\pi }}\left(\sin .x\,\mathrm {S} \,fx\,\sin .x\,dx+\cos .x\,\mathrm {S} \,fx\,\cos .x\,dx\right)e^{-g\pi t}\\&+{\frac {1}{\pi }}\left(\sin .2x\,\mathrm {S} \,fx\,\sin .2x\,dx+\cos .2x\,\mathrm {S} \,fx\,\cos .2x\,dx\right)e^{-2^{2}g\pi t}\\&+\mathrm {etc.} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ({\boldsymbol {\mathrm {E} }})\\\end{aligned}}$

et représentant par $k$ la quantité $g\pi ,$ on aura

${\begin{aligned}\pi v&={\frac {1}{2}}\int \!fx\,dx+\left(\sin .x\int \!fx\,\sin .x\,dx+\cos .x\int \!fx\,\cos .x\,dx\right)e^{-kt}\\&+\left(\sin .2x\int \!fx\,\sin .2x\,dx+\cos .2x\int \!fx\,\cos .2x\,dx\right)e^{-2^{2}kt}\\&+\mathrm {etc.} \\\end{aligned}}$

278.

Cette solution est la même que celle qui a été rapportée dans la section précédente, pag. 272 ; elle donne lieu à diverses remarques, 1^o Il ne serait pas nécessaire de recourir à l’analyse des équations aux différences partielles pour obtenir l’équation générale qui exprime le mouvement de la chaleur dans une armille. On pourrait résoudre la question pour un nombre déterminé de corps, et supposer ensuite ce nombre infini. Cette méthode de calcul a une clarté qui lui est propre, et qui dirige les premières recherches. Il est facile ensuite de passer à une méthode plus concise dont la marche se trouve naturellement indiquée. On voit d’abord