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THÉORIE DE LA CHALEUR.

$u=1-{\frac {gx^{2}}{2^{2}}}+{\frac {g^{2}x^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {g^{3}x^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+{\frac {g^{4}x^{8}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}.8^{2}}}\dots \mathrm {etc.} ,$

$g$ désignant la constante ${\tfrac {m}{k}}$. On examinera plus particulièrement par la suite l’équation différentielle dont cette série dérive ; on regarde ici la fonction $u$ comme étant connue, et l’on a $e^{-gkt}.u$ pour la valeur particulière de $v$.

L’état de la surface convexe du cylindre est assujéti à une condition exprimée par l’équation déterminée $h\mathrm {V} +{\frac {d\mathrm {V} }{dx}}=0$, qui doit être satisfaite lorsque le rayon $x$ a sa valeur totale $\mathrm {X}$ ; on en conclura l’équation déterminée

$h\left(1-{\frac {g\mathrm {X} ^{2}}{2^{2}}}+{\frac {g^{2}\mathrm {X} ^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {g^{3}\mathrm {X} ^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+\mathrm {etc.} \right)={\frac {2g\mathrm {X} }{2^{2}}}-{\frac {4g^{2}\mathrm {X} ^{3}}{2^{2}.4^{2}}}+{\frac {6g^{3}\mathrm {X} ^{5}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+\mathrm {etc.}$

ainsi le nombre $g$ qui entre dans la valeur particulière $^{-gkt}.u$ n’est point arbitraire. Il est nécessaire que ce nombre satisfasse à l’équation précédente, qui contient $g$ et $\mathrm {X}$. Nous prouverons que cette équation en $g$ dans laquelle $h$ et $\mathrm {X}$ sont des quantités données à une infinité de racines, et que toutes ces valeurs de $g$ sont réelles. Il s’ensuit que l’on peut donner à la variable $v$ une infinité de valeurs particulières de la forme $e^{-gkt}.u$, qui différeront seulement par l’exposant $g$. On pourra donc composer une valeur plus générale, en ajoutant toutes ces valeurs particulières multipliées par des coëfficients arbitraires. L’intégrale qui servira à résoudre dans toute son étendue la question proposée est donnée par l’équation suivante :

$v=a_{1}e^{-g_{1}kt}.u_{1}+a_{2}e^{-g_{2}kt}.u_{2}+a_{3}e^{-g_{3}kt}.u_{3}+\mathrm {etc.}$