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CHAPITRE VI.

$g_{1}\,g_{2}\,g_{3}\dots$ etc. désignent toutes les valeurs de $u$ qui satisfont à l’équation déterminée ; $u_{1}\,u_{2}\,u_{3}$ etc. désignent les valeurs de $u$ qui correspondent à ces différentes racines ; $a_{1}\,a_{2}\,a_{3}$ etc., sont des coëfficients arbitraires qui ne peuvent être déterminés que par l’état initial du solide.

307.

Il faut maintenant examiner la nature de l’équation déterminée qui donne les valeurs de $g$, et prouver que toutes les racines de cette équation sont réelles, recherche qui exige un examen attentif.

Dans la série $1-{\frac {g\mathrm {X} ^{2}}{2^{2}}}+{\frac {g^{2}\mathrm {X} ^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {g^{3}\mathrm {X} ^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+\mathrm {etc.}$ qui exprime la valeur que reçoit $u$ lorsque $x=\mathrm {X}$, on remplacera ${\tfrac {g\mathrm {X} ^{2}}{2^{2}}}$ par la quantité $\theta$, et désignant par $f\theta$ ou $y$ cette fonction de $\theta$, on aura $y=f\theta =1-\theta +{\frac {\theta ^{2}}{2^{2}}}-{\frac {\theta ^{3}}{2^{2}.3^{2}}}+{\frac {\theta ^{4}}{2^{2}.3^{2}.4^{2}}}+\mathrm {etc.}$ l’équation déterminée deviendra

${\frac {h\mathrm {X} }{2}}={\frac {\theta -2{\frac {\theta ^{2}}{2^{2}}}+3{\frac {\theta ^{3}}{2^{2}.3^{2}}}-4{\frac {\theta ^{4}}{2^{2}.3^{2}.4^{2}}}+\mathrm {etc.} }{1-\theta +{\frac {\theta ^{2}}{2^{2}}}-{\frac {\theta ^{3}}{2^{2}.3^{2}}}+{\frac {\theta ^{4}}{2^{2}.3^{2}.4^{2}}}-\mathrm {etc.} }}\;\;\mathrm {ou} \;\;{\frac {h\mathrm {X} }{2}}+\theta {\frac {f'\theta }{f\theta }}=0.$

$f'\theta$ désignant la fonction ${\frac {d(f\theta )}{d\theta }}$.

Chacune des valeurs de $\theta$ fournira une valeur pour $g$, au moyen de l’équation ${\tfrac {g\mathrm {X} ^{2}}{2^{2}}}=\theta$ ; et l’on obtiendra ainsi les quantités $g_{1}\,g_{2}$ etc. qui entrent en nombre infini dans la solution cherchée.

La question est donc de démontrer que l’équation

${\frac {h\mathrm {X} }{2}}+\theta {\frac {f'\theta }{f\theta }}=0$