Page:Fourier - Théorie analytique de la chaleur, 1822.djvu/409

377

CHAPITRE VI.

les coëfficients de $\omega ^{1},\,\omega ^{3},\,\omega ^{5},$ etc. sont nuls, il en est de même des coëfficients des termes qui contiennent $\omega ^{-1},\,\omega ^{-3},\,\omega ^{-5},$ etc. ; le coëfficient de $\omega ^{-2}$ est le même que celui de $\omega ^{2}$ ; le coëfficient de $\omega ^{4}$ est $2\left({\frac {\alpha ^{4}}{2.4.6.8}}-{\frac {\alpha ^{6}}{2^{2}.4.6.8.10}}+\mathrm {etc.} \!\right)\!,$ le coëfficient de $\omega ^{-4}$ est le même que celui de $\omega ^{4}$ ; il est aisé d’exprimer la loi suivant laquelle ces coëfficients se succèdent ; mais, sans s’y arrêter, on écrira $2\cos .2x$, au lieu de $\left(\omega ^{2}+\omega ^{-2}\right)$ ou $2\cos .4x$ lieu de $\left(\omega ^{4}+\omega ^{-4}\right)$, ainsi de suite : donc la quantité $2\cos .(\alpha \sin .x)$ peut être facilement développée en une série de la forme

$\mathrm {A} +\mathrm {B} \cos .2x+\mathrm {C} \cos .4x+\mathrm {D} \cos .6x+\mathrm {etc.}$

et le premier coëfficient $\mathrm {A}$ est égal à

$2\left(1-{\frac {\alpha ^{2}}{2^{2}}}+{\frac {\alpha ^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {\alpha ^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+\mathrm {etc.} \right)\;;$

si l’on compare maintenant l’équation générale que nous avons donnée précédemment

${\frac {1}{2}}\pi \varphi x={\frac {1}{2}}\int \varphi x\,dx+\cos .x\int \varphi x\,\cos .x\,dx+\mathrm {etc.}$

à celle-ci, $2cos.(\alpha \sin .x)=\mathrm {A} +\mathrm {B} \cos .2x+\mathrm {C} \cos .4x+\mathrm {etc.}$, on trouvera les valeurs des coëfficients $\mathrm {A}$, $\mathrm {B}$, $\mathrm {C}$, exprimées par des intégrales définies. Il suffit ici de trouver celle du premier coëfficient $\mathrm {A}$. On aura donc

${\frac {1}{2}}\mathrm {A} ={\frac {1}{\pi }}\int \left(\cos .(\alpha \sin .x)\,dx\right),$

l’intégrale devant être pris depuis $x=0$ jusque $x=\pi$. Donc