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THÉORIE DE LA CHALEUR.

la valeur de la série $1-{\frac {\alpha ^{2}}{2^{2}}}+{\frac {\alpha ^{4}}{2^{2}4^{2}}}-{\frac {\alpha ^{6}}{2^{2}4^{2}6^{2}}}+\mathrm {etc.}$ est celle de l’intégrale définie $\textstyle \int \limits _{0}^{\pi }dx\,\cos .(\alpha \sin .x).$ On trouverait de la même manière par la comparaison des deux équations les valeurs des coëfficients suivants $\mathrm {B}$, $\mathrm {C}$ etc. ; on a indiqué ces résultats, parce qu’ils sont utiles dans d’autres recherches qui dépendent de la même théorie. Il suit de là que la valeur particulière de $u$ qui satisfait à l’équation

$g\,u+{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}{\frac {du}{dx}}=0\;\;\mathrm {est} \;\;{\frac {1}{\pi }}\int \cos .(x{\sqrt {g}}.\sin .r)\,dr$

l’intégrale étant prise depuis $r=0$ jusqu’à $r=\pi$. En désignant par $q$ cette valeur de $u$, et faisant $u=qs$, on trouvera $\mathrm {S} =a+b\int {\frac {dx}{xq^{2}}}$ et l’on aura pour l’intégrale complète de l’équation $g\,u+{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}{\frac {du}{dx}}=0,$

$u=\left(\mathrm {A} +\mathrm {B} \int {\frac {dx}{x\left(\int .\cos .(x{\sqrt {g}}.\sin .r)dr\right)^{2}}}\right)\int \cos .(x{\sqrt {g}}.\sin .r)dr,$

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ sont des constantes arbitraires. Si l’on suppose $\mathrm {B} =0$ on aura, comme précédemment, $u=\int \cos .(x{\sqrt {g}}.\sin .r)dr.$ Nous ajouterons les remarques suivantes relatives à cette dernière expression.

311.

L’équation

${\frac {1}{\pi }}\int \cos .(\theta \sin .u)\,du=1-{\frac {\theta ^{2}}{2^{2}}}+{\frac {\theta ^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {\theta ^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+\mathrm {etc.}$