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THÉORIE DE LA CHALEUR.

$\varphi x=a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}+a_{3}u_{3}+\mathrm {etc.}$, qui se rapporte à l’état initial, sera remplie.

Nous pouvons maintenant donner la solution complète de la question proposée ; elle est exprimée par l’équation suivante :

${\begin{aligned}{\frac {v\mathrm {X} ^{2}}{2}}={\frac {\displaystyle \int \limits _{0}^{\mathrm {X} }\left(x\,\varphi x.u_{1}\,dx\right)}{\displaystyle \mathrm {U} _{1}^{2}\left(1+{\frac {h^{2}\,\mathrm {X} }{4^{2}k^{2}\theta _{1}}}\right)}}u_{1}.&e^{\displaystyle -{\frac {2^{2}kt}{\mathrm {X} ^{2}}}\theta _{1}}+{\frac {\displaystyle \int \limits _{0}^{\mathrm {X} }\left(x\,\varphi x.u_{2}\,dx\right)}{\displaystyle \mathrm {U} _{2}^{2}\left(1+{\frac {h^{2}\,\mathrm {X} }{4^{2}k^{2}\theta _{2}}}\right)}}u_{2}.e^{\displaystyle -{\frac {2^{2}kt}{\mathrm {X} ^{2}}}\theta _{2}}\\&+{\frac {\displaystyle \int \limits _{0}^{\mathrm {X} }\left(x\,\varphi x.u_{3}\,dx\right)}{\displaystyle \mathrm {U} _{3}^{2}\left(1+{\frac {h^{2}\,\mathrm {X} }{4^{2}k^{2}\theta _{3}}}\right)}}u_{3}.e^{\displaystyle -{\frac {2^{2}kt}{\mathrm {X} ^{2}}}\theta _{3}}+\mathrm {etc.} \\\end{aligned}}$

La fonction de $x$ qui est exprimée par $u$ dans l’équation précédente a pour expression

${\frac {1}{2}}\int \cos .\left({\frac {2x}{\mathrm {X} }}{\sqrt {\theta _{i}}}.\sin .q\right)dq\;;$

toutes les intégrales par rapport à $x$ doivent être prises depuis $x=0$ jusqu’à $x=\mathrm {X}$, et pour trouver la fonction $u$ on doit intégrer depuis $q=0$ jusqu’à $q=\pi \ ;$ $\varphi x$ est la valeur initiale de la température, prise dans l’intérieur du cylindre à la distance $x$ de l’axe, et cette fonction est arbitraire, les quantités $\theta _{1}\,\theta _{2}\,\theta _{3}\,\theta _{4}\cdots$ etc. sont les racines réelles et positives de l’équation