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CHAPITRE VI.

$\displaystyle {\frac {h\,\mathrm {X} }{2k}}={\frac {\theta }{1-\displaystyle {\frac {\theta }{2-\displaystyle {\frac {\theta }{3-\displaystyle {\frac {\theta }{4-\displaystyle {\frac {\theta }{5-\mathrm {etc.} }}}}}}}}}}$

320.

Si l’on suppose que le cylindre ait été plongé pendant un temps infini dans un liquide entretenu à une température constante, toute la masse se trouvera également échauffée, et la fonction $\varphi x$ qui représente l’état initial sera remplacée par l’unité. Après cette substitution, l’équation générale représentera exactement les progrès successifs du refroidissement.

Si le temps écoulé $t$ est infini, le second membre de l’équation ne contiendra plus qu’un seul terme, savoir : celui où se trouve la moindre de toutes les racines $\theta _{1}$, $\theta _{2}$, $\theta _{3}$, etc. ; c’est pourquoi, en supposant que ces racines sont rangées selon leur grandeur, et que $\theta$ est la moindre de toutes, l’état final du solide sera exprimé par l’équation

${\frac {v\,\mathrm {X} ^{2}}{2}}={\frac {\displaystyle \int \left(x\,\varphi x.u_{1}\,dx\right)}{\displaystyle \mathrm {U} _{1}^{2}\left(1+{\frac {h^{2}.\mathrm {X} ^{2}}{4^{2}k^{2}\theta }}\right)}}u_{1}\,e^{\displaystyle -{\frac {2^{2}k\,t}{\mathrm {X} ^{2}}}\theta }.$

On déduirait de la solution générale des conséquences semblables à celles que présente le mouvement de la chaleur dans une masse sphérique. On reconnaît d’abord qu’il y a une infinité d’états particuliers, dans chacun desquels les rapports établis entre les températures initiales se conser-