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THÉORIE DE LA CHALEUR.

même pour tous les points du cube. Il faut donc déterminer $a_{1}\,a_{2}\,a_{3}$ etc., en sorte que la valeur de $v$ soit constante, quelles que soient celles de $x$ de $y$ et de $z,$ pourvu que chacune de ces valeurs soit comprise entre $a$ et $-a$. Désignant par 1 la température initiale commune à tous les points du solide, on posera l’équation

$1=a_{1}\cos .n_{1}x+a_{2}\cos .n_{2}x+a_{3}\cos .n_{3}x+\mathrm {etc.}$

dans laquelle il s’agit de déterminer $a_{1}\,a_{2}\,a_{3}$ etc. Après avoir multiplié chaque membre par $\cos .n_{1}x$, on intégrera depuis $x=0$ jusqu’à $x=a$ : or, il résulte de l’analyse employée précédemment art. (325), que l’on a l’équation

$1={\frac {\sin .n_{1}a\cos .n_{1}x}{{\frac {1}{2}}n_{1}a\left(1+{\frac {\sin .2n_{1}a}{2n_{1}a}}\right)}}+{\frac {\sin .n_{2}a.\cos .n_{2}x}{{\frac {1}{2}}n_{2}a\left(1+{\frac {\sin .2n_{2}a}{2n_{2}a}}\right)}}+{\frac {\sin .n_{3}a.\cos .n_{3}x}{{\frac {1}{2}}n_{3}a\left(1+{\frac {\sin .2n_{3}a}{2n_{3}a}}\right)}}+\mathrm {etc.}$

désignant par $\mu _{i}$ la quantité ${\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {\sin .2n_{i}a}{2n_{i}a}}\right)$, on aura

$1={\frac {\sin .n_{1}a}{n_{1}a\mu _{1}}}\cos .n_{1}x+{\frac {\sin .n_{2}a}{n_{2}a\mu _{2}}}.\cos .n_{2}x+{\frac {\sin .n_{3}a}{n_{3}a\mu _{3}}}.\cos .n_{3}x+\mathrm {etc.}$

cette équation aura toujours lieu lorsque l’on donnera à $x$ une valeur comprise entre $a$ et $-a$.

On peut en conclure l’expression générale de $v$, elle est donnée par l’équation suivante :