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CHAPITRE VIII.

${\begin{array}{rclcl}v&\!\!=\!\!&\left(\displaystyle {\frac {\sin .n_{1}a}{n_{1}a\mu _{1}a}}\cos .n_{1}x\,e^{-kn_{1}^{2}t}\right.&\!\!+\!\!&\displaystyle {\frac {\sin .n_{2}a}{n_{2}a\mu _{2}a}}\cos .n_{2}x\,e^{-kn_{2}^{2}t}\\&&&\!\!+\!\!&\left.\displaystyle {\frac {\sin .n_{3}a}{n_{3}a\mu _{3}a}}\cos .n_{3}x\,e^{-kn_{3}^{2}t}+\mathrm {etc.} \right)\\&&\left(\displaystyle {\frac {\sin .n_{1}a}{n_{1}a\mu _{1}a}}\cos .n_{1}y\,e^{-kn_{1}^{2}t}\right.&\!\!+\!\!&\displaystyle {\frac {\sin .n_{2}a}{n_{2}a\mu _{2}a}}\cos .n_{2}y\,e^{-kn_{2}^{2}t}\\&&&\!\!+\!\!&\left.\displaystyle {\frac {\sin .n_{3}a}{n_{3}a\mu _{3}a}}\cos .n_{3}y\,e^{-kn_{3}^{2}t}+\mathrm {etc.} \right)\\&&\left(\displaystyle {\frac {\sin .n_{1}a}{n_{1}a\mu _{1}a}}\cos .n_{1}z\,e^{-kn_{1}^{2}t}\right.&\!\!+\!\!&\displaystyle {\frac {\sin .n_{2}a}{n_{2}a\mu _{2}a}}\cos .n_{2}z\,e^{-kn_{2}^{2}t}\\&&&\!\!+\!\!&\left.\displaystyle {\frac {\sin .n_{3}a}{n_{3}a\mu _{3}a}}\cos .n_{3}z\,e^{-kn_{3}^{2}t}+\mathrm {etc.} \right)\\\end{array}}$

336.

L’expression de $v$ est donc formée du produit de trois fonctions semblables, l’une de $x,$ l’autre de $y$ et la troisième de $z$, ce qu’il est facile de vérifier immédiatement.

En effet, si dans l’équation

${\frac {dv}{dt}}=k\left({\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}\right),$

l’on suppose $v=\mathrm {X} \,\mathrm {Y} \,\mathrm {Z}$ ; en dénotant par $\mathrm {X}$ une fonction de $x$ et $t$, par $\mathrm {Y}$ une fonction de $y$ et $t$, et par $\mathrm {Z}$ une fonction de $z$ et $t$, on aura

$\mathrm {XY} {\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}+\mathrm {XZ} {\frac {d\mathrm {Y} }{dt}}+\mathrm {YZ} {\frac {d\mathrm {X} }{dt}}=k\left(\mathrm {XY} {\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{dz^{2}}}+\mathrm {XZ} {\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dy^{2}}}+\mathrm {YZ} {\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}\right)\,;$

on prendra les trois équations séparées

${\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}=k{\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{dz^{2}}},\quad {\frac {d\mathrm {Y} }{dt}}=k{\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dy^{2}}},\quad {\frac {d\mathrm {X} }{dt}}=k{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dz^{2}}}\cdot$