337.
On peut se convaincre que cette valeur de résoud la question dans toute son étendue, et que l’intégrale complète de l’équation aux différences partielles doit nécessairement prendre cette forme pour exprimer les températures variables du solide.
En effet, l’expression de satisfait à l’équation et aux conditions relatives à la surface. Donc les variations des températures qui résultent dans un instant de l’action des molécules et de l’action de l’air sur la surface, sont celles que l’on trouverait en différentiant la valeur de par rapport à . Il s’ensuit que si, au commencement d’un instant, la fonction représente le système des températures, elle représentera encore celles qui ont lieu au commencement de l’instant suivant, et l’on prouve de même que l’état variable du solide sera toujours exprimé par la fonction , dans laquelle on augmentera continuellement la valeur de . Or cette même fonction convient à l’état initial : donc elle représentera tous les états ultérieurs du solide. Ainsi on est assuré que toute solution qui donnerait pour une fonction différente de la précédente, serait erronée.
338.
Si l’on suppose que le temps écoulé est devenu très-grand, on n’aura plus à considérer que le premier terme de l’expression de ; car les valeurs etc. sont rangées par ordre en commençant par la plus petite. Ce terme est donné par l’équation
voilà donc l’état principal vers lequel le système des tempé-
