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THÉORIE DE LA CHALEUR.

On doit avoir aussi pour la condition relative à la surface

${\frac {d\mathrm {V} }{dx}}+{\frac {h}{\mathrm {K} }}\mathrm {V} =0,\quad {\frac {d\mathrm {V} }{dy}}+{\frac {h}{\mathrm {K} }}\mathrm {V} =0,\quad {\frac {d\mathrm {V} }{dz}}+{\frac {h}{\mathrm {K} }}\mathrm {V} =0.$

d’où l’on déduit

${\frac {d\mathrm {X} }{dx}}+{\frac {h}{\mathrm {K} }}{\mathrm {X} }=0,\quad {\frac {d\mathrm {Y} }{dy}}+{\frac {h}{\mathrm {K} }}{\mathrm {Y} }=0,\quad {\frac {d\mathrm {Z} }{dz}}+{\frac {h}{\mathrm {K} }}{\mathrm {Z} }=0.$

Il suit de là que pour résoudre complètement la question il suffit de prendre l’équation ${\frac {du}{dt}}=k{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}$ et d’y ajouter l’équation de condition ${\frac {du}{dx}}+{\frac {h}{\mathrm {K} }}=0$ qui doit avoir lieu, lorsque $x=a$. On mettra ensuite à la place de $x,$ ou $y$ ou $z$ et l’on aura les trois fonctions $\mathrm {X} \,\mathrm {Y} \,\mathrm {Z}$ dont le produit est la valeur générale de $v$.

Ainsi la question proposée est résolue comme il suit :

$v=\varphi (x,t).\varphi (y,t).\varphi (z,t)$

${\begin{aligned}\varphi (x,t)={\frac {\sin .n_{1}a}{n_{1}a\mu _{1}}}\cos .n_{1}x\,e^{-kn_{1}^{\,2}t}&+{\frac {\sin .n_{2}a}{n_{2}a\mu _{2}}}\cos .n_{2}x\,e^{-kn_{2}^{\,2}t}\\&+{\frac {\sin .n_{3}a}{n_{3}a\mu _{3}}}\cos .n_{3}x\,e^{-kn_{3}^{\,2}t}+\mathrm {etc.} \\\end{aligned}}$

$n_{1},\,n_{2},\,n_{3},$ etc. sont donnés par l’équation suivante :

$\varepsilon \,\mathrm {tang.} \varepsilon ={\frac {ha}{\mathrm {K} }},$

dans laquelle $\varepsilon$ représente $na$ ; la valeur de $\mu _{i}$ est

${\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {\sin .2n_{i}a}{2n_{i}a}}\right).$

On trouve de la même manière les fonctions $\varphi (y,t)$, $\varphi (z,t)$.