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THÉORIE DE LA CHALEUR.

l’intégration de l’équation

${\frac {dv}{dt}}={\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}\cdot {\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}-{\frac {\mathrm {H.L} }{\mathrm {C.D.S} }}v,$

(article 105), qui exprime le mouvement linéaire de la chaleur. $v$ est la température que le point placé à la distance $x$ de l’origine doit avoir après le temps écoulé $t$ ; $\mathrm {K,}$ $\mathrm {H,}$ $\mathrm {C,}$ $\mathrm {D,}$ $\mathrm {L,}$ $\mathrm {S,}$ désignent la conducibilité propre, la conducibilité extérieure, la capacité spécifique de chaleur, la densité, le contour de la section perpendiculaire, et l’aire de cette section.

345.

Nous considérons d’abord le premier cas, qui est celui où la chaleur se propage librement dans la ligne infinie dont une partie ab a reçu des températures initiales quelconques ; tous les autres points ayant la température initiale 0. Si l’on élève en chaque point de la barre l’ordonnée d’une courbe plane qui représente la température actuelle de ce point, on voit qu’après une certaine valeur du temps $t,$ l’état du solide est exprimé par la figure de la courbe. Nous désignerons par $v=\mathrm {F} x$ l’équation donnée qui correspond à l’état initial, et nous supposons d’abord pour rendre le calcul plus simple que la figure initiale de la courbe, est composée de deux parties symétriques, en sorte que l’on a la condition $\mathrm {F} x=\mathrm {F} (-x)$. Soit

${\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}=k,\quad {\frac {\mathrm {H.L.} }{\mathrm {C.D.S} }}=h\,;\quad$ dans l’équation $\quad {\frac {dv}{dt}}=k{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}-hv,$

on fera $v=e^{-ht}.u$ et l’on aura ${\frac {du}{dt}}=k{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}.$ On prendra