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THÉORIE DE LA CHALEUR.

${\frac {\pi v}{2}}=e^{-ht}\int dq\,\cos .qx\,e^{-kq^{2}t}\int dx\,\operatorname {F} x\,\cos .qx.$

L’intégrale, par rapport à $x,$ étant prise de $x$ nulle à $x$ infinie, il en résulte une fonction de $q,$ et prenant ensuite l’intégrale par rapport à $q$ de $q=0$ à $q={\frac {1}{0}},$ on obtient pour $v$ la fonction de $x$ et $t,$ qui représente les états successifs du solide. Puisque l’intégration, par rapport à $x,$ fait disparaître cette variable, on peut la remplacer dans l’expression de $v$ par une variable quelconque $\alpha$, en prenant l’intégrale entre les mêmes limites, savoir depuis $\alpha =0$ jusqu’à $\alpha ={\frac {1}{0}}.$ On a donc

$\displaystyle {\frac {\pi v}{2}}=\int \limits _{0}^{\frac {1}{0}}dq\,\cos .qx\,e^{-kq^{2}t}\int \limits _{0}^{\frac {1}{0}}d\alpha \,\operatorname {F} \alpha \,\cos .q\alpha ,$

ou

$\displaystyle {\frac {\pi v}{2}}=\int \limits _{0}^{\frac {1}{0}}d\alpha \,\operatorname {F} \alpha \int \limits _{0}^{\frac {1}{0}}dq\,e^{-kq^{2}t}\cos .qx\,\cos .q\alpha .$

L’intégration, par rapport à $q,$ donnera une fonction de $x,$ $t$ et $\alpha ,$ et en prenant l’intégrale par rapport à $\alpha ,$ on trouve une fonction de $x$ et $t$ seulement. Il serait facile d’effectuer dans la dernière équation l’intégration par rapport à $q$ et l’on changerait ainsi l’expression de $v.$ On peut en général donner diverses formes à l’intégrale de l’équation

${\frac {dv}{dt}}=k{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}-hv,$

elles représentent toutes une même fonction de $x$ et $t$.