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CHAPITRE IX.

$e^{-n^{2}kt}\,\sin .(nx){\sqrt {\pi }}=\int dq\,e^{-q^{2}}\,\sin .n\left(x+2q{\sqrt {kt}}\right),$

on déterminera de la même manière l’intégrale

$\int dq\,e^{-q^{2}}\,\cos .n\left(x+2q{\sqrt {kt}}\right),$

dont la valeur est $e^{-n^{2}kt}\cos .(nx).{\sqrt {\pi }}.$

On voit par-là que l’intégrale

${\begin{aligned}e^{-n_{1}^{2}kt}(a_{1}\sin .n_{1}x&+b_{1}\cos .n_{1}x)+e^{-n_{2}^{2}kt}(a_{2}\sin .n_{2}x+b_{2}\cos .n_{2}x)\\&+e^{-n_{3}^{2}kt}(a_{3}\sin .n_{3}x+b_{3}\cos .n_{3}x)+\mathrm {etc.} \\\end{aligned}}$

équivaut à

$\int dq\,e^{-q^{2}}\left\{{\begin{array}{l}a_{1}\sin .n_{1}\left(x+2q{\sqrt {kt}}\right)+a_{2}\sin .n_{2}\left(x+2q{\sqrt {kt}}\right)+\mathrm {etc.} \\b_{1}\cos .n_{1}\left(x+2q{\sqrt {kt}}\right)+b_{2}\cos .n_{2}\left(x+2q{\sqrt {kt}}\right)+\mathrm {etc.} \\\end{array}}\right\}.$

La valeur de la série représente, comme on l’a vu précédemment, une fonction quelconque de $x+2q{\sqrt {kt}}\,;$ ainsi l’intégrale générale sera exprimée ainsi :

$v=\int dq\,e^{-q^{2}}\varphi \left(x+2q{\sqrt {kt}}\right).$

Au reste, l’intégrale de l’équation ${\frac {du}{dt}}=k{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}$ peut être présentée sous divers autres formes. Toutes ces expressions sont nécessairement identiques.