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THÉORIE DE LA CHALEUR.

de la question ; et l’on ne peut supposer qu’il y ait une expression plus générale, quoique d’ailleurs la même intégrale puisse être mise sous des formes très-diverses.

Au lieu d’employer l’équation

$v={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int dq\,e^{-q^{2}}f\left(x+2q{\sqrt {t}}\right),$

On pourrait donner une autre forme à l’intégrale de l’équation ${\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}\,;$ et il serait toujours facile d’en déduire l’intégrale qui convient au cas des trois dimensions. Le résultat que l’on obtiendrait serait nécessairement le même que le précédent.

Pour donner un exemple de ce calcul nous ferons usage de la valeur particulière qui nous a servi à former l’intégrale exponentielle.

Reprenant donc l’équation ${\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}\quad ({\boldsymbol {b}}),$ nous donnerons à $v$ la valeur très-simple $e^{-n^{2}t}\cos .nx,$ qui satisfait évidemment à l’équation différentielle $(b).$ En effet, on en tire ${\frac {dv}{dt}}=-n^{2}v$ et ${\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}=-n^{2}v.$ Donc l’intégrale

$\int \limits _{-{\tfrac {1}{0}}}^{+{\tfrac {1}{0}}}dn\,e^{-n^{2}t}\cos .nx$

convient aussi à l’équation $(b)\,;$ car cette valeur de $v$ est formée de la somme d’une infinité de valeurs particulières. Or, l’intégrale