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CHAPITRE IX.

$\int \limits _{-{\tfrac {1}{0}}}^{+{\tfrac {1}{0}}}dn\,e^{-n^{2}t}\cos .nx$

est connue, et l’on sait qu’elle équivaut à ${\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{4\,t}}}}{{\sqrt {\pi }}.{\sqrt {t}}}}.$ (Voyez l’article suivant.) Cette dernière fonction de $x$ et $t$ convient donc aussi avec l’équation différentielle $(b).$ Il est d’ailleurs très-facile de reconnaître immédiatement que la valeur particulière ${\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{4\,t}}}}{\sqrt {t}}}$ satisfait à l’équation dont il s’agit.

Ce même résultat aura lieu si l’on remplace la variable $x$ par $x-\alpha ,$ $\alpha$ étant une constante quelconque. On peut donc employer comme valeur particulière la fonction ${\frac {\mathrm {A} e^{-{\frac {(x-\alpha )^{2}}{4\,t}}}}{\sqrt {t}}},$ dans laquelle on attribue à $\alpha$ une valeur quelconque. Par conséquent la somme $\int d\alpha \,f\alpha {\frac {\mathrm {A} e^{-{\frac {(x-\alpha )^{2}}{4\,t}}}}{\sqrt {t}}}$ satisfait aussi à l’équation différentielle $(b)$ ; car cette somme se compose d’une infinité de valeurs particulières de la même forme, multipliées par des constantes arbitraires. Donc on peut prendre pour valeur de $v$ dans l’équation ${\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}$ celle-ci :

$v=\int \limits _{-{\tfrac {1}{0}}}^{+{\tfrac {1}{0}}}d\alpha \,f\alpha .\mathrm {A} {\frac {e^{\frac {-(x-\alpha )^{2}}{4\,t}}}{\sqrt {t}}}$

$\mathrm {A}$ étant un coëfficient constant. Si dans cette dernière intégrale on suppose ${\frac {(x-\alpha )^{2}}{4\,t}}=q^{2},$ en faisant aussi $\mathrm {A} ={\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}},$ on