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THÉORIE DE LA CHALEUR.

Au reste la valeur particulière ${\frac {e^{\frac {-x^{2}}{4\,t}}}{\sqrt {t}}}$ est assez simple pour qu’elle se présente immédiatement sans qu’il soit nécessaire de la déduire de celle-ci $e^{-n^{2}t}\cos .nx.$ Quoi qu’il en soit, il est certain que la fonction ${\frac {e^{\frac {-x^{2}}{4\,t}}}{\sqrt {t}}}$ satisfait à l’équation différentielle ${\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}\,;$ il en est de même par conséquent de la fonction ${\frac {e^{\frac {-(x-\alpha )^{2}}{4\,t}}}{\sqrt {t}}},$ quelle que soit la quantité $\alpha .$

376.

Pour passer au cas des trois dimensions, il suffit de multiplier la fonction en $x$ et $t,$ ${\frac {e^{\frac {-(x-\alpha )^{2}}{4\,t}}}{\sqrt {t}}}$ par deux autres fonctions semblables l’une en $y$ et $t\,;$ le produit doit évidemment satisfaire à l’équation ${\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}.$ On prendra donc pour $v$ la valeur ainsi exprimée

$v={\frac {e^{\frac {-(x-\alpha )^{2}}{4\,t}}}{\sqrt {t}}}\cdot {\frac {e^{\frac {-(y-\beta )^{2}}{4\,t}}}{\sqrt {t}}}\cdot {\frac {e^{\frac {-(z-\gamma )^{2}}{4\,t}}}{\sqrt {t}}}\cdot$

Si maintenant on multiplie le second membre par $d\alpha ,\,d\beta ,\,d\gamma ,$ et par une fonction quelconque $f(\alpha ,\beta ,\gamma )$ des quantités $\alpha ,\beta ,\gamma$ on trouvera, en indiquant l’intégration, une valeur de $v$ formée de la somme d’une infinité de valeurs particulières multipliées par des constantes arbitraires.

Il suit de là que la fonction $v$ peut être ainsi exprimée :