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CHAPITRE IX.

$v=\int \limits _{-{\tfrac {1}{0}}}^{+{\tfrac {1}{0}}}d\alpha \int \limits _{-{\tfrac {1}{0}}}^{+{\tfrac {1}{0}}}d\beta \int \limits _{-{\tfrac {1}{0}}}^{+{\tfrac {1}{0}}}d\gamma \,f(\alpha ,\beta ,\gamma ).t^{-{\frac {3}{2}}}\,e^{-{\frac {\left((\alpha -x)^{2}+(\beta -y)^{2}+(\gamma -z)^{2}\right)}{4\,t}}}\quad {\overset {\;}{({\boldsymbol {j}})}}$

Cette équation contient l’intégrale générale de la proposée (A) : le procédé qui nous a conduit à cette intégrale doit être remarqué par ce qu’il s’applique aux cas les plus variés ; il est principalement utile lorsque l’intégrale doit satisfaire à des conditions relatives à la surface. En l’examinant avec attention on reconnaîtra que les transformations qu’il exige sont toutes indiquées par la nature physique de la question. On peut aussi, dans l’équation $(j),$ changer d’indéterminées, en prenant

${\frac {(\alpha -x)^{2}}{4\,t}}=n^{2},\quad {\frac {(\beta -y)^{2}}{4\,t}}=p^{2},\quad {\frac {(\gamma -z)^{2}}{4\,t}}=q^{2},$

on aura, en multipliant le second membre par un coëfficient constant $\mathrm {A} ,$

$v=2^{3}.\mathrm {A} \!\int dn\!\int dp\!\int dq\,e^{-(n^{2}+p^{2}+q^{2})}f(x\!+\!2n{\sqrt {t}},y\!+\!2p{\sqrt {t}},z\!+\!2q{\sqrt {t}})$

Prenant les trois intégrales entre les limites $-{\tfrac {1}{0}}$ et $+{\tfrac {1}{0}},$ et faisant $t=0$ afin de connaître l’état initial, on trouvera $v=2^{3}.\mathrm {A} {\sqrt {\pi ^{3}}}f(x,y,z).$ Ainsi, en représentant les températures initiales connues par $\mathrm {F} (x,y,z),$ et donnant à la constante $\mathrm {A}$ la valeur ${\frac {1}{2^{3}{\sqrt {\pi ^{3}}}}},$ on parviendra à l’intégrale

$v=\pi ^{-{\frac {3}{2}}}\!\int \limits _{-{\tfrac {1}{0}}}^{+{\tfrac {1}{0}}}dn\!\int \limits _{-{\tfrac {1}{0}}}^{+{\tfrac {1}{0}}}dp\!\int \limits _{-{\tfrac {1}{0}}}^{+{\tfrac {1}{0}}}dq\,e^{-n^{2}}.e^{-p^{2}}.e^{-q^{2}}.\mathrm {F} \left(x\!+\!2n{\sqrt {t}},y\!+\!2p{\sqrt {t}},z\!+\!2q{\sqrt {t}}\right)$

qui est la même que celle de l’article (372).