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CHAPITRE IX.

Le facteur $\int d\alpha \int d\beta \int d\gamma \,f(\alpha ,\beta ,\gamma )$ représente la quantité totale de chaleur B que le solide contient. Ainsi le système des températures ne dépend point de la distribution de la chaleur initiale, mais seulement de sa quantité. On pourrait supposer que toute la chaleur initiale était contenue dans un seul élément prismatique placé à l’origine, et dont les dimensions, orthogonales et extrêmement petites seraient $\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}.$ La température initiale de cet élément serait désignée par un nombre extrêmement grand $f,$ et toutes les autres molécules du solide auraient une température initiale nulle. Le produit $\omega _{1}\omega _{2}\omega _{3}f$ équivaut dans ce cas à l’intégrale

$\int d\alpha \int d\beta \int d\gamma \,f(\alpha ,\beta ,\gamma ).$

Quelque soit réchauffement initial, l’état du solide qui correspond à une valeur du temps très-grande, est le même que si toute la chaleur avait été réunie dans un seul élément placé à l’origine.

385.

Supposons maintenant que l’on ne considère que les points du solide dont la distance à l’origine est très-grande par rapport aux dimensions de la partie échauffée ; on pourrait d’abord penser que cette condition suffit pour réduire l’exposant de $e$ dans l’intégrale générale. En effet cet exposant est $-\left({\frac {(\alpha -x)^{2}+(\beta -y)^{2}+(\gamma -z)^{2}}{4\,k\,t}}\right)\,;$ et les variables $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ sont, par hypothèse, comprises entre des limites déterminées, en sorte que leurs valeurs sont toujours extrêmement petites, par rapport à la plus grande coordonnée d’un point très-éloigné de l’origine. Il suit de là que l’exposant de $e$ se compose de deux parties $\mathrm {M} +\mu$, dont l’une est