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THÉORIE DE LA CHALEUR.

384.

Lorsque la diffusion de la chaleur s’opère dans tous les sens, l’état du solide est représenté comme on l’a vu par l’intégrale

$v=\iiint {\frac {d\alpha \,d\beta \,d\gamma }{2^{3}.{\sqrt {k^{3}\pi ^{3}t^{3}}}}}e^{-\left({\frac {(\alpha -x)^{2}+(\beta -y)^{2}+(\gamma -z)^{2}}{4\,k\,t}}\right)}f(\alpha ,\beta ,\gamma ).\quad ({\boldsymbol {j}})$

Si la chaleur initiale est contenue dans une portion déterminée de la masse solide, on connaîtra les limites qui comprennent cette partie échauffée, et les quantités $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,$ qui varient sous le signe intégral, ne pourront point recevoir de valeurs qui excèdent ces limites. Supposons donc que l’on marque sur les trois axes six points dont les distances sont $+\mathrm {X} ,$ $+\mathrm {Y} ,$ $+\mathrm {Z} ,$ et $-\mathrm {X} ,$ $-\mathrm {Y} ,$ $-\mathrm {Z} ,$ et que l’on considère les états successifs du solide compris entre les six plans qui passent à ces distances ; on voit que l’exposant de $e,$ sous le signe d’intégration, se réduit à $-\left({\frac {x^{2}+y^{2}+z^{2}}{4\,k\,t}}\right),$ lorsque la valeur du temps écoulé augmente sans borne. En effet, les termes tels que ${\frac {2\alpha x}{4kt}}$ et ${\frac {\alpha ^{2}}{4kt}}$ reçoivent dans ce cas des valeurs absolues très-petites, parce que les numérateurs sont compris entre des limites fixes, et que les dénominateurs croissent à l’infini. Ainsi les facteurs que l’on omet diffèrent extrêmement peu de l’unité. Donc l’état variable du solide, après une grande valeur du temps, a pour expression

$v={\frac {e^{\frac {-(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{4\,k\,t}}}{2^{3}{\sqrt {k^{3}\pi ^{3}t^{3}}}}}\int d\alpha \int d\beta \int d\gamma \;f(\alpha ,\beta ,\gamma ).$