Page:Fourier - Théorie analytique de la chaleur, 1822.djvu/538

506

THÉORIE DE LA CHALEUR.

de ${\frac {dv}{dt}}$ il faut remplacer le facteur $(a-x)^{2}+(b-y)^{2}+(c-z)^{2}$ par $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ ou $r^{2}$ en désignant par $r$ la distance du point m à l’origine. On aura donc

${\frac {dv}{dt}}=-{\frac {3}{2}}\cdot {\frac {1}{t}}v+{\frac {r^{2}}{4t^{2}}}\int \!da\!\int \!db\!\int \!dc\,\,\mathrm {P} \,f(a,b,c)$

$\mathrm {ou} \qquad {\frac {dv}{dt}}=v\left({\frac {r^{2}}{4t^{2}}}-{\frac {3}{2t}}\right).$

Si l’on met pour $v$ sa valeur, et si l’on remplace $t$ par ${\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }},$ afin de rétablir le coëfficient ${\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }},$ que l’on avait supposé égal à 1, on aura

${\frac {dv}{dt}}=\left\{{\frac {r^{2}}{4\left({\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}t\right)^{2}}}-{\frac {3}{\overset {\;}{2{\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}t}}}\right\}\!\int \!da\!\int \!db\!\int \!dc\,{\frac {e^{-\left((a-x)^{2}+(b-y)^{2}+(c-z)^{2}\right){\frac {1}{{\frac {4\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}t}}}}{2^{3}\pi ^{\frac {3}{2}}\left({\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}\right)^{\frac {1}{2}}}}f(a,b,c).\;\;{\overset {\;}{({\boldsymbol {\alpha }})}}$

394.

Ce résultat ne convient qu’aux points du solide dont la distance à l’origine est très-grande par rapport à la plus grande dimension du foyer. Il faut toujours remarquer avec soin qu’il ne s’ensuit pas de cette condition que l’on puisse omettre les variables $a,\,b,\,c$ sous le signe exponentiel. On doit seulement les omettre hors de ce signe. Si l’on ne faisait point cette distinction on pourrait commettre une erreur considérable. En effet, le terme qui entre sous les signes d’intégration, et qui multiplie $f(a,b,c)$ est le produit de plu-