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THÉORIE DE LA CHALEUR.

Les deux équations $(a)$ et $(b)$ donnent donc en $g$ et $h$ les deux intégrales

$\int dy.\sin .y^{2}.\cos .2by\qquad \mathrm {et} \qquad \int dy.\cos .y^{2}.\cos .2by$

que nous désignerons respectivement par $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} .$ On fera ensuite

$y^{2}=p^{2}t,\quad \mathrm {et} \quad 2by=pz,\qquad \mathrm {ou} \quad y=p{\sqrt {t}},\quad b={\frac {z}{2{\sqrt {t}}}}\cdot$

On a donc

${\sqrt {t}}.\int dp\,\cos .p^{2}t.\cos .pz=\mathrm {A} ,\quad {\sqrt {t}}.\int dp\,\sin .p^{2}t.\cos .pz=\mathrm {B} .$

On déduit immédiatement les valeurs de $g$ et $h$ du résultat connu

${\sqrt {\pi }}=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }dx.e^{-x^{2}}\cdot$

En effet, cette dernière équation est identique, et par conséquent ne cessera point de l’être, lorsqu’on mettra au lieu de $x$ la quantité $\qquad y\left({\frac {1+{\sqrt {-1}}}{\sqrt {2}}}\right)\,:$

cette substitution donne

$\left({\frac {1+{\sqrt {-1}}}{\sqrt {2}}}\right)\int dy\,e^{-y^{2}{\sqrt {-1}}}={\frac {1+{\sqrt {-1}}}{\sqrt {2}}}\int dy\,\cos .y^{2}-{\sqrt {-1}}.\sin .y^{2}\cdot$

Ainsi la partie réelle du second membre de la dernière équation est ${\sqrt {\pi }},$ et la partie imaginaire est nulle. On en conclut

${\begin{aligned}{\sqrt {\pi }}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\int dy\,\cos .y^{2}+\int dy\,]sin.y^{2}\right),\\\mathrm {et} \qquad \qquad \qquad 0&=\int dy\,\cos .y^{2}-\int dy\,\sin .y^{2}\\\end{aligned}}$