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CHAPITRE IX.

$\mathrm {ou} \quad \int \limits _{-\infty }^{+\infty }dy\,\cos .y^{2}=g={\sqrt {{\frac {1}{2}}\pi }},\quad \int dy\,\sin .y^{2}=h={\sqrt {{\frac {1}{2}}\pi }}.$

Il ne reste plus qu’à déterminer, au moyen des équations $(a)$ et $(b),$ les valeurs des deux intégrales

$\int dy\,\cos .y^{2}\,\cos .2by,\qquad \mathrm {et} \quad \int dy\,\sin .y^{2}\,\sin .2by$

Elles seront ainsi exprimées :

${\begin{aligned}\mathrm {A} &=\int dy\,\cos .y^{2}\,\cos .2by=h\,\sin .b^{2}+g\,\cos .b^{2},\\\mathrm {B} &=\int dy\,\sin .y^{2}\,\cos .2by=h\,\cos .b^{2}-g\,\sin .b^{2},\\\end{aligned}}$

On en conclut :

${\begin{aligned}\int dp\,\cos .p^{2}t\,\cos .pz&={\frac {\sqrt {\pi }}{\sqrt {t}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {2}}}\cdot \left(\cos .\left({\frac {z^{2}}{4t}}\right)+\sin .\left({\frac {z^{2}}{4t}}\right)\right),\\\int dp\,\sin .p^{2}t\,\cos .pz&={\frac {\sqrt {\pi }}{\sqrt {t}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {2}}}\cdot \left(\cos .\left({\frac {z^{2}}{4t}}\right)-\sin .\left({\frac {z^{2}}{4t}}\right)\right).\\\end{aligned}}$

écrivant $\sin \left({\frac {1}{4}}\pi \right),$ ou $\cos \left({\frac {1}{4}}\pi \right),$ au lieu de ${\sqrt {\frac {1}{2}}},$ on a

${\begin{aligned}\int dp\,\cos .(p^{2}t)\,\cos .(pz)&={\frac {\sqrt {\pi }}{\sqrt {t}}}\sin .\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {z^{2}}{4t}}\right),\qquad ({\boldsymbol {1}})\\\mathrm {et} \qquad \int dp\,\sin .(p^{2}t)\,\cos .(pz)&={\frac {\sqrt {\pi }}{\sqrt {t}}}\sin .\left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {z^{2}}{4t}}\right),\qquad ({\boldsymbol {2}})\\\end{aligned}}$

408.

La proposition exprimée par l’équation (B), page 525, ou par l’équation (E), page 449, et qui nous a servi à découvrir cette intégrale $(\delta )$ et les précédentes, s’applique évidemment à un plus grand nombre de variables. En effet, dans l’équation générale

$fx={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,f\alpha \int \limits _{-\infty }^{+\infty }dp\,\cos .(px-p\alpha ),$