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THÉORIE DE LA CHALEUR.

En intégrant la valeur de $u$ par rapport à $t,$ et $\psi$ désignant la seconde fonction arbitraire, on trouvera une autre partie $\mathrm {W}$ de l’intégrale ainsi exprimée :

$\mathrm {W} =\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{2}\!\!\int \!\!d\alpha \!\!\int \!\!d\beta \,\psi (\alpha ,\beta )\!\!\int \!\!dp\!\!\int \!\!dq\,\cos .(px-p\alpha ).\cos .(qy-q\beta ){\frac {\sin .(p^{2}t+q^{2}t)}{p^{2}+q^{2}}}\cdot$

Si l’on fait $t=0$ dans $u$ et dans $\mathrm {W} ,$ la première fonction devient égale à $\varphi (x,y),$ et la seconde nulle ; et si l’on fait aussi $t=0$ dans ${\frac {d}{dt}}u$ et dans ${\frac {d}{dt}}\mathrm {W} ,$ la première fonction devient nulle, et la seconde devient égale à $\psi (x,y)\,:$ donc $v=u+\mathrm {W}$ est l’intégrale générale de la proposée.

412.

On peut donner à la valeur de $u$ une forme plus simple en effectuant les deux intégrations par rapport à $p$ et $q.$ On fait usage, pour ce calcul, des deux équations (1) et (2) que nous avons démontrées dans l’art. 407, et l’on obtient l’intégrale suivante :

$u={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\beta \,\varphi (\alpha ,\beta )\cdot {\frac {1}{4t}}\sin .\left({\frac {(x-\alpha )^{2}+(y-\beta )^{2}}{4t}}\right)\cdot$

Désignant par $u$ cette première partie de l’intégrale, et par $\mathrm {W}$ la seconde, qui doit contenir une autre fonction arbitraire, on a

$\mathrm {W} =\int \limits _{0}^{t}dt\,u\qquad \mathrm {et} \quad v=u+\mathrm {W} .$

Si l’on désigne par $\mu$ et $\nu$ deux nouvelles indéterminées, telles que l’on ait

${\frac {\alpha -x}{2{\sqrt {t}}}}=\mu ,\qquad {\frac {\beta -y}{2{\sqrt {t}}}}=\nu ,$