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CHAPITRE IX.

et que l’on substitue, pour $\alpha ,$ $\beta ,$ $d\alpha ,$ $d\beta ,$ leurs valeurs

$x+2\mu {\sqrt {t}},\quad y+2\nu {\sqrt {t}},\quad 2d\mu {\sqrt {t}},\quad 2d\nu {\sqrt {t}},$

on aura cette autre forme de l’intégrale

$v={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\mu \int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\nu \,\sin .(\mu ^{2}+\nu ^{2})\,\varphi (x+2\mu {\sqrt {t}},y+2\nu {\sqrt {t}})+\mathrm {W} .$

Nous ne pourrions multiplier davantage ces applications de nos formules, sans nous écarter de notre sujet principal. Les exemples précédents se rapportent à des phénomènes physiques dont les lois étaient inconnues et difficiles à découvrir ; et nous les avons choisis parce que les intégrales de ces équations, que l’on avait inutilement cherchées jusqu’ici, ont une analogie remarquable avec celles qui expriment le mouvement de la chaleur.

413.

On peut aussi, dans la recherche des intégrales, considérer d’abord les séries développées selon les puissances d’une variable, et sommer ces séries au moyen des théorèmes exprimés par les équations (B), (BB). Voici un exemple de cette analyse, choisi dans la théorie même de la chaleur, et qui nous a paru remarquable.

On a vu, art. 399, que la valeur générale de $v,$ déduite de l’équation

${\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}v}{dx^{2}}},\qquad ({\boldsymbol {a}})$

développée en série, selon les puissances croissantes de la variable $t,$ contient une seule fonction arbitraire de $x\,;$ et qu’étant développée en série selon les puissances croissantes de $x,$ elle contient deux fonctions entièrement arbitraires de $t.$