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J’observe maintenant que ce groupe est non primitif, en sorte que toutes les lettres où le rapport des deux indices est le même sont des lettres conjointes. Si l’on remplace par une seule lettre chaque système de lettres conjointes, on aura un groupe dont toutes les substitutions seront de la forme

$\left(b_{\frac {k_{1}}{k_{2}}},b_{\frac {m_{1}k_{1}+n_{1}k_{2}}{m_{2}k_{1}+n_{2}k_{2}}}\right)$,

${\frac {k_{1}}{k_{2}}}$ étant les nouveaux indices. En remplaçant ce rapport par un seul indice $k$, on voit que les $p+1$ lettres seront

$b_{0},\,b_{1},\,b_{2},\,b_{3},...,\,b_{p-1},\,b_{\frac {1}{0}},$

et les substitutions seront de la forme

$\left(k,{\frac {mk+n}{rk+s}}\right)$.

Cherchons combien de lettres, dans chacune de ces substitutions, restent à la même place ; il faut pour cela résoudre l’équation

$(rk+s)k-m(mk+n)=0$.

qui aura deux, ou une, ou aucune racine, suivant que $(m-s)^{2}+4nr$ sera résidu quadratique, nul ou non résidu quadratique. Suivant ces trois cas, la substitution sera de l’ordre $p-1$, ou $p$, ou $p+1$.

On peut prendre pour type des deux premiers cas les substitutions de la forme

$(k,mk+n)$.

où la seule lettre $b_{\frac {1}{0}}$ ne varie pas, et de là on voit que le nombre total des substitutions du groupe réduit est

$(p+1)p(p-1)$.

C’est après avoir ainsi réduit ce groupe que nous allons le traiter généralement. Nous chercherons d’abord dans quel cas un diviseur de ce groupe, qui contiendrait des substitutions de l’ordre $p$, pourrait appartenir à une équation soluble par radicaux.

Dans ce cas, l’équation serait primitive et elle ne pourrait être