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soluble par radicaux, à moins que l’on n’eût $p+1=2^{n}$, $n$ étant un certain nombre.

Nous pouvons supposer que le groupe ne contienne que des substitutions de l’ordre $p$ et de l’ordre $p+1$. Toutes les substitutions de l’ordre $p+1$ seront par conséquent semblables, et leur période sera de deux termes.

Prenons donc l’expression

$\left(k,{\frac {mk+n}{rk+s}}\right),$

et voyons dans quel cas cette substitution peut avoir une période de deux termes. Il faut pour cela que la substitution inverse se confonde avec elle. La substitution inverse est

$\left(k,{\frac {-sk+n}{rk-m}}\right).$

Donc on doit avoir $m=-s$, et toutes les substitutions en question seront

$\left(k,{\frac {mk+n}{k-m}}\right),$

ou encore

$k,m+{\frac {\mathrm {N} }{k-m}},$

$\mathrm {N}$ étant un certain nombre qui est le même pour toutes les substitutions, puisque ces substitutions doivent être transformées les unes dans les autres par toutes les substitutions de l’ordre $p$, $(k,k+m)$ ; or ces substitutions doivent, de plus, être conjuguées

les unes des autres. Si donc

$\left(k,m+{\frac {\mathrm {N} }{k-m}}\right),\quad \left(k,n+{\frac {\mathrm {N} }{k-n}}\right)$

sont deux pareilles substitutions, il faut que l’on ait

$n+{\frac {\mathrm {N} }{{\frac {\mathrm {N} }{k-m}}+m-n}}=m+{\frac {\mathrm {N} }{{\frac {\mathrm {N} }{k-n}}+n-m}},$

savoir

$(m-n)^{2}=2\mathrm {N} .$

Donc la différence entre deux valeurs de $m$ ne peut acquérir