cines invariable par ces substitutions est rationnellement connue, et telle réciproquement qu’une fonction ne peut être rationnellement déterminable, à moins d’être invariable par ces substitutions que nous nommerons substitutions de l’équation. » (Dans le cas des équations littérales, ce groupe n’est autre chose que l’ensemble de toutes les permutations des racines, puisque les fonctions symmétriques sont seules connues).
Pour plus de simplicité, nous supposerons dans la démonstration de notre théorème, qu’il ait été reconnu pour toutes les équations de degrés inférieurs ; ce qu’on peut toujours admettre puisqu’il est évident pour les équations du second degré.
Admettons donc la chose pour tous les degrés inférieurs à m ; pour la démontrer dans le mième, nous distinguerons quatre cas :
1er Cas. L’équation se décomposant en deux ou en un plus grand nombre de facteurs.
Soit U = 0 l’équation, U = VT, V et T étant des fonctions dont les coefficients se déterminent rationnellement au moyen des coefficients de la proposée et des quantités adjointes.
Je vais faire voir que, dans l’hypothèse, on pourra trouver un groupe qui satisfasse à la condition énoncée.
Remarquons ici que dans ces sortes de questions, comme il ne s’agit que, des substitutions par les quelles des fonctions sont invariables, si un groupe satisfait à la condition, tout groupe qui aurait les mêmes substitutions y satisfera aussi. Il convient donc de partir toujours d’une permutation arbitraire, mais fixe, afin de déterminer les groupes que l’on aura à considérer. De cette manière, on évitera toute ambiguïté.
Celà posé, dans le cas actuel, il est clair que si l’on adjoignait à l’équation U = 0, toutes les racines de l’équation V = 0, l’équation U = 0 se décomposerait en facteurs dont l’un serait T = 0, et les autres seraient les facteurs simples de V.
Soit H le groupe que l’on obtient en opérant [sur] une permu-
nous ferons voir qu’il suffit de la donner dans le cas où l’équation proposée ne se décompose pas en facteurs dont les coefficients se déduisent rationnellement de ses coefficients et des quantités qui lui sont adjointes, plus brièvement, dans le cas où l’équation n’a pas de diviseurs rationnels. Admettons en effet que la chose ait été démontrée dans ce cas, et supposons qu’une équation se décompose en deux facteurs qui n’aient eux-mêmes aucun diviseur rationnel.
