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ARITHMÉTIQUES

positif $2$, qui est en même temps minimum absolu, et $-3$ pour résidu minimum négatif ; $+5$, suivant le module $7$, est lui-même son résidu minimum positif ; $-2$ est le résidu minimum négatif et en même temps le minimum absolu.

5. Des notions que nous venons d’établir, nous tirerons d’abord les conséquences suivantes :

Les nombres qui sont congrus suivant un module composé, le sont également suivant un quelconque de ses diviseurs.

Si plusieurs nombres sont congrus à un même suivant le même module, ils seront congrus entre eux (toujours suivant le même module).

On doit supposer la même identité de module dans ce qui suit.

Les nombres congrus ont les mêmes résidus minima ; les nombres incongrus les ont différens.

6. Si les nombres $\mathrm {A} ,\ \mathrm {B} ,\ \mathrm {C} ,\ {\text{etc.}}$ ; $a,\ b,\ c,\ {\text{etc.}}$ sont congrus chacun à chacun, c’est-à-dire, si $\mathrm {A} \equiv a,\ \mathrm {B} \equiv b,\ {\text{etc.}}$ on aura…

$\mathrm {A+B+C\ +\ {\text{etc.}}\equiv a+b+c+{\text{etc.}}}$

Si $A\equiv a,\ B\equiv b,$ on a aussi $A-B\equiv a-b.$

7. Si $\mathrm {A} \equiv a,$ on a aussi $k\mathrm {A} \equiv ka.$

Si $k$ est positif, ce n’est qu’un cas particulier de l’article précédent, en posant $A=B=C,\ {\text{etc.}},\ a=b=c,\ {\text{etc.}}$

Si $k$ est négatif, $-k$ sera positif ; donc $-kA\equiv -ka,$ et partant $kA\equiv ka.$

Si $A\equiv a,B\equiv b,AB\equiv ab\ ;$ car $AB\equiv Ab\equiv ba.$

8. Si les nombres $A,\ B,\ C,\ {\text{etc.}},\ a,\ b,\ c,\ {\text{etc.}}$ sont congrus chacun à chacun, les produits $ABC,\ {\text{etc.}},$ et $abc,\ {\text{etc.}}$ seront congrus.

Par l’article précédent, $AB\equiv ab\,;$ par la même raison $ABC=abc,$ et ainsi de suite.

En prenant tous les nombres $A,\ B,\ C,$ etc., on déduit ce théorème :

Si $A\equiv a$ et que $k$ soit entier positif, on aura $A^{k}\equiv a^{k}.$

9. Soit $\mathrm {X}$ une fonction de l’indéterminée $\mathrm {x} ,$ de cette forme… $\mathrm {Ax^{a}} +\mathrm {Bx^{b}} +\mathrm {Cx^{c}} ,\ etc.,\ \mathrm {A,\ B,\ C,} \ etc.$ étant des nombres entiers quelconques, $\mathrm {a,b,c,}$ etc. des nombres entiers positifs. Si l’on

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