donne à des valeurs congrues, suivant un certain module, les valeurs résultantes pour le seront aussi.
Soient les valeurs congrues de par les articles précédents et de même donc
Au reste on conçoit aisément que ce théorème peut s’étendre à des fonctions de plusieurs indéterminées.
10. Si donc on substitue à la place de tous les nombres entiers consécutifs, et que l’on cherche les résidus minima des valeurs de ils formeront une suite dans laquelle, après un intervalle de termes ( étant le module), les mêmes termes se représenteront ; c’est-à-dire que cette suite sera formée d’une période de termes répétée indéfiniment.
Soit par exemple : et pour les valeurs de donnent pour résidus minima positifs : où les cinq premiers se répètent indéfiniment ; et si l’on continue la série en sens contraire, c’est-à-dire, si l’on donne à des valeurs négatives, la même période reparaît en sens inverse ; d’où il suit que la série ne renferme pas d’autres termes que ceux qui composent la période.
11. Donc dans cet exemple, ne peut devenir ni et encore moins ou d’où il suit que les équations et n’ont point de racines entières, et par conséquent point de racines rationnelles. On voit en général que lorsque est de la forme étant entiers, et entier positif, l’équation (forme à laquelle toute équation algébrique peut se ramener) n’aura aucune racine rationnelle, s’il arrive que pour un certain module la congruence ne soit pas satisfaite ; mais ce caractère qui se présente ici de lui-même, sera développé davantage dans la section VIII. On peut au moins se former par cette esquisse une idée de l’utilité de nos recherches.
12. Plusieurs des théorèmes que l’on a coutume d’exposer dans les traités d’arithmétique, s’appuient sur ceux que nous avons pré-
