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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

3. Équations du mouvement. — Considérons $n$ molécules $\mathrm {M_{1},\ M_{2},\dots \ M_{i},\dots }$ de masses $m_{1},\ m_{2},\dots \ m_{i},\dots$ Les coordonnées d’une de ces molécules seront, dans la position d’équilibre, $x_{i},\ y_{i},\ z_{i}$ ; après le déplacement, $x_{i}+\xi _{i},y_{i}+\eta _{i},z_{i}+\zeta _{i}$. Nous admettrons qu’il existe une fonction des forces $\mathrm {U}$, c’est-à-dire qu’il y a conservation de l’énergie. Les équations du mouvement de la molécule $\mathrm {M} _{i}$ seront :

(1)

${\begin{aligned}&m_{i}{\frac {d^{2}\xi _{i}}{dt^{2}}}={\frac {d\mathrm {U} }{d\xi _{i}}}\\&m_{i}{\frac {d^{2}\eta _{i}}{dt^{2}}}={\frac {d\mathrm {U} }{d\eta _{i}}}\\&m_{i}{\frac {d^{2}\zeta _{i}}{dt^{2}}}={\frac {d\mathrm {U} }{d\zeta _{i}}}\end{aligned}}$

4. Propriétés de la fonction des forces. — Si on développe $\mathrm {U}$ suivant les puissances croissantes des $\xi$ (en désignant par $\xi$ l’ensemble des quantités $\xi _{1},\ \eta _{1},\ \zeta _{1}\ ;\ \xi _{2},\ \eta _{2},\ \zeta _{2}\dots$), on a :

$\mathrm {U=U_{0}+U_{1}+U_{2}+U_{3}} \dots$

$\mathrm {U_{0}}$, qui représente le terme constant, peut être supposé nul, car la fonction $\mathrm {U}$ n’entre dans les équations du mouvement que par ses dérivées.

$\mathrm {U_{1}}$, qui représente l’ensemble des termes du premier degré par rapport aux $\xi ,$ c’est-à-dire

$\sum \xi _{i}\left({\frac {d\mathrm {U} }{d\xi _{i}}}\right)_{0}$