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ÉTUDE DES PETITS MOUVEMENTS

est nul, car ${\frac {d\mathrm {U} }{d\xi _{i}}}$ représente la projection sur $\mathrm {OX}$ de la force s’exerçant sur la molécule $\mathrm {M} _{i}$, force qui est nulle dans la position d’équilibre, c’est-à-dire pour $\xi _{i}=0$. $\left({\frac {d\mathrm {U} }{d\xi _{i}}}\right)_{0}$ est nul, et par suite $\mathrm {U} _{1}$ aussi.

Enfin, comme les quantités $\xi$ sont supposées très petites (2), on peut négliger les termes d’un degré supérieur au second par rapport aux $\xi _{1}$ et on a simplement :

(2)

$\mathrm {U} =\mathrm {U} _{2}.$

$\mathrm {U} _{2}$ est une forme quadratique par rapport aux $3n$ quantités $\xi$ ; on peut donc la mettre sous la forme d’une somme de carrés. Cette somme doit être négative, car, l’équilibre étant stable quand les $\xi$ sont nuls, la fonction $\mathrm {U}$ doit passer par un maximum pour $\xi =0$, et une des conditions pour qu’une fonction passe par un maximum est que l’ensemble des termes du second degré du développement soit négatif.

Si on divise les forces agissant sur le système en deux groupes, forces intérieures et forces extérieures, et si l’on désigne par $\mathrm {U} '$ la fonction des forces relative au premier groupe, par $\mathrm {U} ''$ celle qui est relative au second groupe, on aura :

(3)

$\mathrm {U} =\mathrm {U} '+\mathrm {U} ''.$

5. Propriétés des fonctions $\mathrm {U} '$ et $\mathrm {U} ''$. — Si les diverses molécules se déplacent de manière que leurs distances respectives ne varient pas, le travail des forces intérieures est nul ; $\mathrm {U} '$ est alors nulle. $\mathrm {U} '$ peut donc être considérée comme une