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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

lécules matérielles occupant les sommets de parallélipipèdes égaux et juxtaposés. Les faces de ces parallélipipèdes formeront trois systèmes de plans que nous pouvons représenter par les équations

(1)

$\;\,ax+by+cz=dm$

(2)

$\,a'x+b'y+c'z=d'm'$

(3)

$a''x+b''y+c''z=d''m''$

dans lesquelles $m,\,m',\,m''$ seront des entiers variant de $-\infty$ à $+\infty .$ Les valeurs de $x,\,y,\,z$ satisfaisant à ces trois équations seront les coordonnées d’un sommet d’un parallélipipède. Prenons un de ces points $\mathrm {P}$ et donnons à ses coordonnées des accroissements $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ satisfaisant aux équations suivantes

(4)

$\;\,a\,\alpha +b\,\beta +c\,\gamma =d$

(5)

$a'\alpha +b'\beta +\,c'\gamma =0$

(6)

$a''\alpha +b''\beta +c''\gamma =0.$

Les deux dernières équations montrent que le point $\mathrm {P} '$ de coordonnées $x+\alpha ,$ $y+\beta ,$ $z+\gamma$ est situé dans les plans des systèmes (2) et (3) qui passent par le point $x,\,y,\,z.$ De l’équation (4), il résulte que les coordonnées du point $\mathrm {P} '$ satisfont à l’équation

$a(x+\alpha )+b(y+\beta )+c(z+\gamma )=d(m+1).$

Par conséquent le point $\mathrm {P} '$ se trouvera dans le plan du système (1) qui est le plus rapproché du plan de ce même système passant par le point $\mathrm {P} .$ Les points $\mathrm {P}$ et $\mathrm {P} '$ forment donc les extrémités d’une arête d’un parallélipipède et, par suite, $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ sont les projections de cette arête suivant les trois axes.

On verrait de la même manière que les projections $\alpha ',\,\beta ',\,\gamma '$