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ÉTUDE DES PETITS MOUVEMENTS

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

${\begin{alignedat}{15}&\quad \sum {\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\mathrm {D} x^{2}&=0,&\quad \quad &\sum {\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\,\mathrm {D} z\,\mathrm {D} y&=0,&\qquad \\[1em]{\text{(13)}}&\quad \sum {\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\mathrm {D} y^{2}&=0,&\quad \quad {\text{(14)}}\quad &\sum {\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\,\mathrm {D} x\,\mathrm {D} z&=0,&\qquad \\[1em]&\quad \sum {\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\mathrm {D} z^{2}&=0,&\quad \quad &\sum {\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\,\mathrm {D} y\,\mathrm {D} x&=0,\\\end{alignedat}}$

sont satisfaites. Cauchy a démontré que, réciproquement, si ces six relations sont satisfaites, la pression extérieure est nulle. Dans la suite du cours nous serons amenés à démontrer cette réciproque.

11. Le troisième terme $\mathrm {U} '_{2}$ du développement de $\mathrm {U} '$ par rapport aux quantités $\xi$ a pour expression, si on néglige les termes du troisième et du quatrième degré en $\mathrm {D} \xi$ :

(15)

$\mathrm {U} '_{2}=\sum {\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\rho _{2}+{\frac {1}{2}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{d\mathrm {R} ^{2}}}\rho _{1}^{2}+\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{d\mathrm {R} \,d\mathrm {R} '}}\rho _{1}\rho _{1}'.$

En substituant cette valeur de $\mathrm {U} _{2}'$ dans la relation (7), on obtient :

$\mathrm {U} =\mathrm {U} _{2}=\mathrm {U} _{2}''+\sum {\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\rho _{2}+{\frac {1}{2}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{d\mathrm {R} ^{2}}}\rho _{1}^{2}+\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{d\mathrm {R} \,d\mathrm {R} '}}\rho _{1}\rho '_{1}.$

Le premier terme, $\mathrm {U} _{2}''$, de cette expression ne jouera en général aucun rôle dans l’élasticité ; il ne dépend, en effet, que des pressions extérieures et ne peut provenir que des déplacements des molécules superficielles. Or, quand on étudie le mouvement dans un milieu indéfini, on est conduit à admettre que les quantités $\xi$ sont nulles à l’infini ; en outre, dans un milieu limité, les conséquences déduites des calculs dans lesquels la quantité $\mathrm {U} _{2}''$ est supposée nulle, rigoureusement vraies pour les portions du milieu situées à une certaine dis-