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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

Elle signifie que ${\frac {d\xi }{dz}}-{\frac {d\zeta }{dx}}$ est une fonction continue. De même les deux autres équations (13) signifient que ${\frac {d\eta }{dx}}-{\frac {d\xi }{dy}}$ et ${\frac {d\zeta }{dy}}-{\frac {d\eta }{dz}}$ sont des fonctions continues. Ces conditions peuvent remplacer le principe des forces vives.

Je dis que ${\frac {d\zeta }{dz}}$ est aussi une fonction continue. En effet $\xi$ et $\eta$ sont continues et il est aisé de voir qu’il en est de même de ${\frac {d\xi }{dx}}$ et ${\frac {d\eta }{dy}}.$ Mais à cause de la transversalité des vibrations, on doit avoir dans les deux milieux

$\Theta ={\frac {d\xi }{dx}}+{\frac {d\eta }{dy}}+{\frac {d\zeta }{dz}}=0.$

Donc ${\frac {d\zeta }{dz}}$ est aussi continu.

Ainsi dans les hypothèses de Fresnel non seulement $\xi$ et $\eta ,$ mais encore ${\frac {d\xi }{dz}}-{\frac {d\zeta }{dx}},$ ${\frac {d\eta }{dx}}-{\frac {d\xi }{dy}},$ ${\frac {d\zeta }{dy}}-{\frac {d\eta }{dz}}$ et ${\frac {d\zeta }{dz}}$ sont des fonctions continues.

204. Théorème de Mac-Cullagh. — Multiplions la seconde équation (5) par ${\frac {\gamma _{1}}{\alpha _{1}}}$ et ajoutons la à (10) de façon à éliminer $\mathrm {B} _{2},$ il viendra

(14)

$2\mathrm {B} _{1}{\frac {\gamma _{1}}{\alpha _{1}}}-\mathrm {B} _{3}\left({\frac {\gamma _{1}}{\alpha _{1}}}+{\frac {\gamma _{3}}{\alpha _{3}}}\right)=0.$

Éliminons de même $\mathrm {A} _{2}$ entre la première équation (5) et l’équation (11), il viendra :

$2\mathrm {A} _{1}\left({\frac {\gamma _{1}}{\alpha _{1}}}+{\frac {\alpha _{1}}{\gamma _{1}}}\right)-\mathrm {A} _{3}\left({\frac {\gamma _{1}}{\alpha _{1}}}+{\frac {\alpha _{1}}{\gamma _{1}}}+{\frac {\gamma _{3}}{\alpha _{3}}}+{\frac {\alpha _{3}}{\gamma _{3}}}\right)=0,$