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ABERRATION ASTRONOMIQUE

donc, en négligeant le carré de $v,$

(3)

$\rho _{1}\left({\frac {d^{2}\xi _{1}}{dt^{2}}}+2v\,{\frac {d^{2}\xi _{1}}{dz\,dt}}\right)=\mathrm {M} \left(\xi -\xi _{1}\right).$

Telle est l’équation qui doit remplacer l’équation (2). Quant à l’équation (1) elle se réduit dans le système d’axes adopté à

(4)

$\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}={\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}+\mathrm {M} \left(\xi _{1}-\xi \right),$

puisque $\xi$ ne dépend plus que de $z$ et de $t.$

L’addition de ces deux dernières équations élimine $\mathrm {M}$ et nous donne

(5)

$\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+\rho _{1}\left({\frac {d^{2}\xi _{1}}{dt^{2}}}+2v\,{\frac {d^{2}\xi _{1}}{dz\,dt}}\right)={\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}\cdot$

Nous supposerons que $\mathrm {M}$ est très grand ; l’équation (4) montre alors que $\mathrm {M} (\xi _{1}-\xi )$ est fini. On en conclut que $\xi _{1}-\xi$ est très petit et nous sommes conduits à admettre à titre de première approximation que l’on a $\xi =\xi _{1}.$ L’équation (5) devient alors

(6)

$\left(\rho +\rho _{1}\right){\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+2v\rho _{1}\,{\frac {d^{2}\xi _{1}}{dz\,dt}}={\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}\cdot$

L’équation du mouvement dans le vide se déduira de la précédente en y faisant $\rho _{1}=0\,;$ nous savons que dans ce cas, la vitesse de propagation est

$\mathrm {V} ={\frac {1}{\sqrt {\rho }}}\cdot$

Si on suppose le mouvement lumineux se propageant dans