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PRINCIPE DE HUYGHENS

comme cela a lieu dans le cas particulier des ondes dérivées, les ondes rétrogrades s’effaceront mutuellement, et les vibrations ne pourront se propager que dans le sens de la marche de l’onde dérivée. »

C’était bien là la véritable explication du principe de Huyghens ; nous allons le montrer avec plus de rigueur dans ce qui va suivre.

66. Intégration des équations des mouvements transversaux dans le cas des ondes sphériques. — Reprenons les équations des mouvements transversaux

${\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\mathrm {V} ^{2}\Delta \xi ,\qquad {\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}=\mathrm {V} ^{2}\Delta \eta ,\qquad {\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}=\mathrm {V} ^{2}\Delta \zeta ,$

que nous avons déjà résolues dans le cas des ondes planes (50), et proposons-nous d’en trouver les intégrales dans le cas des ondes sphériques.

Fig. 7. Dans les ondes de cette nature les déplacements et les vitesses d’un point $\mathrm {M}$ (fig. 7) doivent avoir les mêmes valeurs pour tous les points situés à une même distance $r$) du centre des ondes ; donc $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta ,$ et leurs dérivées ne dépendront que de $r$ et du temps $t.$ En prenant pour origine des coordonnées le centre des ondes sphériques et appelant $x,$ $y,$ $z,$ les coordonnées du point $\mathrm {M} ,$ nous aurons

$r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$

Posons $\xi ={\frac {u}{r}},$

$u$ étant une fonction quelconque de $r$ et de $t,$ et cherchons