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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

quelle doit être la forme de cette fonction pour satisfaire aux équations du mouvement.

La quantité $\Delta \xi$ est une fonction linéaire et homogène de $u$ et de ses deux premières dérivées par rapport à $r\,;$ nous pouvons l’écrire

$\Delta \xi =\mathrm {A} u+\mathrm {B} {\frac {du}{dr}}+\mathrm {C} {\frac {d^{2}u}{dr^{2}}}.$

67. La valeur des coefficients $\mathrm {A} ,$ $\mathrm {B} ,$ $\mathrm {C}$ pourrait s’obtenir en calculant les dérivées secondes de $\xi$ par rapport à $x,$ $y,$ $z$ et les additionnant, mais il est plus simple de les déterminer en faisant des hypothèses particulières sur la fonction $u.$

Supposons d’abord que l’on ait $u=1\,;$ on aura $\xi ={\frac {1}{r}}\cdot$ C’est la forme de la fonction potentielle dans l’attraction de deux points suivant la loi de Newton. On doit donc avoir $\Delta \xi =0,$ et comme l’expression de $\Delta \xi$ se réduit à $\mathrm {A}$ dans ce cas particulier, $\mathrm {A}$ doit être nul.

Prenons $u=r\,;$ nous aurons $\xi =1,$ et par suite $\Delta \xi =0.$ D’autre part, nous avons

${\frac {du}{dr}}=1,\qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {d^{2}u}{dr^{2}}}=0;$

par conséquent, comme $\mathrm {A}$ est nul d’après ce qui précède.

$\Delta \xi =\mathrm {B} {\frac {du}{dr}}=0.$

Le coefficient $\mathrm {B}$ doit donc aussi être nul.

Pour trouver le coefficient $\mathrm {C} ,$ faisons $u=r^{3}\,;$ la dérivée seconde de cette fonction par rapport à $r$ sera égale à $6r$ et la valeur de $\Delta \xi$ se réduira à

$\Delta \xi =6\mathrm {C} r.$