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PRINCIPE DE HUYGHENS

Quant au second facteur $e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r},$ il faut calculer sa valeur au point $\mathrm {M} ,$ c’est-à-dire la valeur de $r$ en ce point. Or $\mathrm {C} _{1}$ et $\mathrm {C} _{2}$ étant les centres de courbure principaux de la surface $\mathrm {S}$ au point $\mathrm {Q} ,$ le point $\mathrm {M}$ étant très voisin de $\mathrm {Q} ,$ on démontre que :

$r=r_{0}+mx^{2}+ny^{2}$

en posant :

$m={\frac {\mathrm {PC} _{1}}{2\mathrm {QP} .\mathrm {QC} _{1}}}\qquad n={\frac {\mathrm {PC} _{2}}{2\mathrm {QP} .\mathrm {QC} _{2}}}$

Les segments étant pris avec leur signe ; nous conviendrons donc de regarder $\mathrm {PC}$ comme positif si le point $\mathrm {C}$ est à droite de $\mathrm {P} ,$ comme négatif si le point $\mathrm {C}$ est à gauche.

Cette expression de $r$ n’est qu’une valeur approchée, obtenue en regardant $x$ et $y$ comme des infiniment petits du premier ordre et négligeant les infiniment petits d’ordre supérieur au second.

L’expression de $\xi$ prendra donc la forme :

${\frac {{\sqrt {-1}}\,\alpha }{4\pi }}\int {\frac {2\xi '_{0}}{r_{0}}}\,ne^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha (r_{0}+mx^{2}+ny^{2})}dx\,dy.$

Posons, pour mettre les signes en évidence

${\begin{aligned}\mu &=+{\sqrt {|m|}}\\[0.75ex]\nu &=+{\sqrt {|n|}}\\\end{aligned}}$

$|m|$ et $|n|$ représentant les valeurs absolues de $m$ et de $n.$

$\mu \nu ={\sqrt {|mn|}}={\sqrt {\frac {\mathrm {PC} _{1}\,\mathrm {PC} _{2}}{4{\overline {\mathrm {QP} }}^{2}.\mathrm {QC} _{1}.\mathrm {QC} _{2}}}}$