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PASSAGE DES ONDES PAR UNE LIGNE FOCALE

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

ou en posant :

$h={\sqrt {\left|{\dfrac {\mathrm {PC} _{1}.\mathrm {PC} _{2}}{\mathrm {QC} _{1}.\mathrm {QC} _{2}}}\right|}}$

$\mu \nu ={\frac {h}{2r_{0}}}\cdot$

114. Trois cas sont à distinguer :

Premier cas. — Les points sont dans l’ordre $\mathrm {QPC_{1}C_{2}}$ (fig. 20) (1) ; autrement dit, pour aller de $\mathrm {Q}$ en $\mathrm {P} ,$ le rayon ne rencontre aucune ligne focale, alors :

$m=+\mu ^{2}\qquad n=+\nu ^{2}.$

Deuxième cas. — Des points sont dans l’ordre $\mathrm {QC_{1}PC_{2}}$ (fig. 20) (2) ; le rayon allant de $\mathrm {Q}$ en $\mathrm {P}$ rencontre une seule ligne focale.

$m=-\mu ^{2}\qquad n=+\nu ^{2}.$

Troisième cas. — Les points sont dans l’ordre $\mathrm {QC_{1}C_{2}P}$ (fig. 20) (3), le rayon rencontre deux lignes focales :

$m=-\mu ^{2}\qquad n=-\nu ^{2}.$

Dans ce dernier, rentre le cas particulier où, $\mathrm {C} _{1}$ et $\mathrm {C} _{2}$ étant confondus, le rayon passe par un foyer.

Transformons l’intégrale en réunissant ces trois cas dans la même formule, nous aurons :

$\xi ={\frac {{\sqrt {-1}}\,\alpha }{2\pi }}{\frac {\xi '_{0}}{r_{0}}}e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r_{0}}\int e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha (\pm \mu ^{2}x^{2}\pm \nu ^{2}y^{2})}\,dx\,dy.$

Comme nous l’avons dit déjà, les portions de la surface voisine de $\mathrm {Q}$ ont seules une influence ; sans changer la valeur de $\xi$ nous pouvons donc prendre comme limites $-\infty$ et $+\infty .$